Question

如圖，在直四棱柱（側棱與底面垂直的四棱柱）ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC，給出以下結論：
（1）異面直線A₁B₁與CD₁所成的角為45°；
（2）D₁C⊥AC₁；
（3）在棱DC上存在一點E，使D₁E∥平面A₁BD，這個點為DC的中點；
（4）在棱AA₁上不存在點F，使三棱錐F-BCD的體積為直四棱柱體積的．
其中正確的個數有（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：直接利用已知條件推出異面直線所成的角判斷（1）的正誤；通過直線與平面的位置關系判斷（2）的正誤；通過直線與平面的平行判斷（3）的正誤；幾何體的體積判斷（4）的正誤即可．
解答：解：（1）由題意可知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC，所以△DD₁C₁是等腰直角三角形，A₁B₁∥C₁D₁，異面直線A₁B₁與CD₁所成的角為45°，所以（1）正確．
（2）由題意可知，AD⊥平面DD₁C₁C，四邊形DD₁C₁C是正方形，所以D₁C⊥DC₁，
可得D₁C⊥AC₁；（2）正確；
對于（3）在棱DC上存在一點E，使D₁E∥平面A₁BD，這個點為DC的中點，因為
DC=DD₁=2AD=2AB，如圖HG，所以E為中點，正確．
（4）設AB=1，則棱柱的體積為：=，當F在A₁時，A₁-BCD的體積為：=，顯然體積比為，所以在棱AA₁上存在點F，使三棱錐F-BCD的體積為直四棱柱體積的，所以（4）不正確．
正確結果有（1）、（2）、（3）．
故選C．
點評：本題考查棱柱的結構特征，幾何體的體積的求法，直線與平面的位置關系的判斷，考查空間想象能力計算能力．