Question

設(shè)各項均不為0的數(shù)列{a_n}的前n項之乘積是b_n，且λa_n+b_n=1（λ∈R，λ＞0）
（1）探求a_n、b_n、b_n-1之間的關(guān)系式；
（2）設(shè)λ=1，求證{

1

bn

}是等差數(shù)列；
（3）設(shè)λ=2，求證：b₁+b₂+…+b_n＜

2

3

．

Answer 1

分析：（1）利用各項均不為0的數(shù)列{a_n}的前n項之乘積是b_n，且λa_n+b_n=1，即可探求a_n、b_n、b_n-1之間的關(guān)系式；
（2）當(dāng)n≥2時，將a_n=

bn

bn-1

代入a_n+b_n=1中，即可證得結(jié)論；
（3）求出數(shù)列的通項，利用放縮法及等比數(shù)列的求和公式，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：由數(shù)列{a_n}的前n項之乘積是b_n，得a₁=b₁，a_n=

bn

bn-1

（2分）
（2）證明：令n=1，得λa₁+b₁=1，又a₁=b₁，∴b₁=

1

λ+1

∵λ=1，∴b₁=

1

2

  （3分）
當(dāng)n≥2時，將a_n=

bn

bn-1

代入a_n+b_n=1中，得

bn

bn-1

+b_n=1，則

1

bn

=

1

bn-1

+1  （4分）
∴數(shù)列{

1

bn

}是以2為首項，以1為公差的等差數(shù)列
（3）解：∵2a₁+b₁=1，a₁=b₁∴3b₁=1，b₁=

1

3

  （5分）
當(dāng)λ=2時，將a_n=

bn

bn-1

代入2a_n+b_n=1中，得2

bn

bn-1

+b_n=1
則

1

bn

=2

1

bn-1

+1  （6分）
∴

1

bn

+1=2（

1

bn-1

+1）（7分）
∴{

1

bn

+1}是以

1

b1

+1=4為首項，以2為公比的等比數(shù)列 （8分）
∴

1

bn

+1=2ⁿ⁺¹
∴bn=

1

2n+1-1

∵

1

2n+1-1

＜

1

2n+1-2

=

1

2

•

1

2n-1

∴bn＜

1

2

bn-1（n≥2）
∴b₁+b₂+…+b_n≤b₁+

1

2

b₁+…+

1

2n-1

b₁=b₁•

1- 1 2n

1- 1 2

＜b₁•

1

1 2

=

2

3

∴b₁+b₂+…+b_n＜

2

3

．

點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查等差數(shù)列的證明，考查不等式的證明，考查放縮法的運用，有一定的難度．