Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-ax+a（x∈R）同時(shí)滿足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一個(gè)元素；②在定義域內(nèi)存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=f（n）．
（I）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（II）設(shè)各項(xiàng)均不為0的數(shù)列{b_n}中，所有滿足b_i•b_i+1＜0的整數(shù)i的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列{b_n}的變號(hào)數(shù)，令bn=1-

a

an

（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的變號(hào)數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可知a=0或a=4．再結(jié)合題設(shè)條件可知a=4，即f（x）=x²-4x+4．
（Ⅱ）結(jié)合題設(shè)條件由數(shù)列的性質(zhì)知an=

1，(n=1) 2n-5．(n≥2)

，由題設(shè)可得bn=

-3，(n=1) 1- 4 2n-5 ．(n≥2)

，由此入手能夠求出
數(shù)列{b_n}的變號(hào)數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）∵不等式f（x）≤0的解集有且只有一個(gè)元素
∴△=a²-4a=0解得a=0或a=4
當(dāng)a=0時(shí)函數(shù)f（x）=x²在（0，+∞）遞增，不滿足條件②
當(dāng)a=4時(shí)函數(shù)f（x）=x²-4x+4在（0，2）上遞減，滿足條件②
綜上得a=4，即f（x）=x²-4x+4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知S_n=n²-4n+4=（n-2）²
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1
當(dāng)n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1=（n-2）²-（n-3）²=2n-5
∴an=

1，(n=1) 2n-5．(n≥2)

由題設(shè)可得bn=

-3，(n=1) 1- 4 2n-5 ．(n≥2)

∵b₁=-3＜0，b₂=1+4=5＞0，b₃=-3＜0，
∴i=1，i=2都滿足b_i•b_i+1＜0
∵當(dāng)n≥3時(shí)，bn+1-bn=

4

2n-5

-

4

2n-3

=

8

(2n-5)(2n-3)

＞0
即當(dāng)n≥3時(shí)，數(shù)列{b_n}遞增，
∵b4=-

1

3

＜0，由1-

4

2n-5

＞0?n≥5，
可知i=4滿足b_i•b_i+1＜0
∴數(shù)列{b_n}的變號(hào)數(shù)為3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，避免不必分的錯(cuò)誤．