Question

【題目】已知,函數(shù).

(Ⅰ)求在區(qū)間上的最小值;

(Ⅱ)設(shè),當(dāng)時, 恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：(Ⅰ) 利用得，判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過(i)當(dāng)時；(ii)當(dāng)時,(iii)當(dāng)時，分別求解函數(shù)的最值；(Ⅱ) ，則，通過①當(dāng)時，②當(dāng)時，i當(dāng)時，ii當(dāng)時，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，推出實數(shù)的取值范圍.

試題解析：(Ⅰ) ,由,得,

當(dāng)時, 為增函數(shù);

當(dāng)時, 為減函數(shù).

(i)當(dāng)時, 在區(qū)間上為減函數(shù), ;

(ii)當(dāng)時, 在區(qū)間上為增函數(shù), ;

(iii)當(dāng)時, ,

若時, ; 若時, .

綜上,當(dāng)時, ;當(dāng)時, .

(Ⅱ) ,則.

①當(dāng)時, 在上單調(diào)遞增,則,

∵,∴存在,使得,于是在區(qū)間上單調(diào)遞減,當(dāng)時, 與恒成立相矛盾,不符合題意.

②當(dāng)時, ),則,即在上單調(diào)遞增,

∴,即,∴.

(i)當(dāng)時, ,于是在上單調(diào)遞增,

∴恒成立,符合題意.

(ii)當(dāng)時, 在上單調(diào)遞增,

則,即在上單調(diào)遞增,所以,

∵,∴存在,使得,于是在區(qū)間上單調(diào)遞減,

當(dāng)時, 與恒成立相矛盾,不符合題意.

綜上,實數(shù)的取值范圍是.