Question

如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知,，現將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如圖乙），設點E，F分別為棱AC，AD的中點．

（1）求證：DC平面ABC；

（2）設，求三棱錐A－BFE的體積．

 

Answer 1

（1）證明：見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）注意分析折疊前后變化的關系及不變化的關系.在圖甲中可得；

在圖乙中，可得AB⊥CD．根據DC⊥BC，即可得到DC⊥平面ABC．

（2）首先根據E，F分別為AC，AD的中點，得到EF//CD，根據（1）知，DC⊥平面ABC，得到EF⊥平面ABC，從而得到

在圖甲中，根據給定角度及長度，計算“不變量”，得，BD=2，BC=，EF=CD=，

利用體積公式計算即得所求．

解答本題的關鍵是確定“垂直關系”，這也是難點所在，平時學習中，應特別注意轉化意識的培養(yǎng)，等體積轉化的方法，是立體幾何中常用方法之一.

（1）證明：在圖甲中∵且 ∴，

即 1分

在圖乙中，∵平面ABD⊥平面BDC ， 且平面ABD∩平面BDC＝BD

4分

又，，且，∴DC⊥平面ABC． 6分

（2）【解析】
， 7分

又由（1）知，DC⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC， 8分

所以， 9分

在圖甲中，

由得，， 10分

，

11分

12分

考點：平行關系，垂直關系，幾何體的體積.