Question

（理）如圖，單位正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F(xiàn)分別是棱C₁D₁和B₁C₁的中點(diǎn)，試求：
（Ⅰ）AF與平面BEB₁所成角的余弦值；
（Ⅱ）點(diǎn)A到面BEB₁的距離．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角公式sinθ=|cos＜

n

，

AF

＞|=

| n • AF |

| n | | AF |

即可得出；
（2）利用點(diǎn)A到面BEB₁的距離d=

| n • AB |

| n |

即可得出．

解答：解：（1）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．
則A（1，0，0），B（1，1，0），B₁（1，1，1），E(0，

1

2

，1)，F(

1

2

，1，1)．
∴

BB1

=(0，0，1)，

BE

=(-1，-

1

2

，1)，

AF

=(-

1

2

，1，1)．
設(shè)平面BEB₁的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • BB1 =0 n • BE =0

，即

z=0 -x- 1 2 y+z=0

，取y=2，則x=-1，z=0．
∴

n

=(-1，2，0)，
設(shè)AF與平面BEB₁所成的角為θ，θ∈[0，

π

2

]．
則sinθ=|cos＜

n

，

AF

＞|=

| n • AF |

| n | | AF |

=

1 2 +2

5 × 1 4 +2

=

5

3

，
∴cosθ=

1-sin2θ

=

2

3

．
（2）由（1）可得平面BEB₁的法向量

n

=(-1，2，0)，

AB

=(0，1，0)．
∴點(diǎn)A到面BEB₁的距離d=

| n • AB |

| n |

=

2

5

=

2 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握線面角公式sinθ=|cos＜

n

，

AF

＞|=

| n • AF |

| n | | AF |

、點(diǎn)A到面BEB₁的距離d=

| n • AB |

| n |

是解題的關(guān)鍵．