Question

如圖，單位正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下列說法錯誤的是（　�。�

• A．BD₁⊥B₁C
• B．若

  DP

  =

  1

  3

  DD1

   ， 

  DE

  =

  1

  3

  DC

  ，則PE∥A₁B
• C．若點B₁、A、D、C在球心為O的球面上，則點A、C在該球面上的球面距離為

  3

  2

  arccos

  1

  3

• D．若

  DP

  =

  1

  3

  DD1

   ， 

  DE

  =

  1

  3

  DC

  ，則A₁P、BE、AD三線共點

Answer 1

分析：以D點為坐標(biāo)原點，DA、DC、DD₁分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線所在向量的數(shù)量積判定兩直線是否垂直，是否平行，利用余弦定理求圓心角，以及利用兩平面的公共點肯定在交線上進(jìn)行判定即可．

解答：解：以D點為坐標(biāo)原點，DA、DC、DD₁分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系
則A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），B（1，1，0），B₁（1，1，1），C（0，1，0），
選項A：

BD1

=（-1，-1，1），

B1C

=（-1，0，-1），則

BD1

•

B1C

=0∴BD₁⊥B₁C
選項B：若

DP

=

1

3

DD1

 ， 

DE

=

1

3

DC

，則P（0，0，

1

3

），E（0，

1

3

，0）
∴

PE

=（0，

1

3

，-

1

3

），

A1B

=（0，1，-1）則

PE

=-

1

3

A1B

∴PE∥A₁B
選項C：若點B₁、A、D、C在球心為O的球面上，則該球為正方體的外接球，OA=OC=

3

2

，AC=

2

；
則AC所對的圓心角為π-arccos

1

3

，∴點A、C在該球面上的球面距離為

3

2

(π-arccos

1

3

)，則選項C不正確；
選項D：由選項B可知PE∥A₁B，且PE=

1

3

A₁B，∴A₁P、BE共面且相交，假設(shè)交點為Q，Q∈A₁P，A₁P?面A₁PD，Q∈BE，BE?面BED
∴Q∈面A₁PD，Q∈?面BED，而面A₁PD∩面BED=AD∴Q∈AD即A₁P、BE、AD三線共點于Q．
故選C．

點評：本題主要考查了利用空間向量判定空間兩直線平行、垂直，以及向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義，同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．