已知空間三點A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求
AB
 與
AC
的夾角及|
AB
|.
(2)求三角形ABC的面積.
分析:(1)根據(jù)點A、B、C的坐標算出向量
AB
AC
的坐標,由向量模的公式加以計算,可得
|AB|
=
|AC|
=
14
,再利用空間向量的夾角公式,算出
AB
AC
的夾角余弦等于
1
2
,從而得到
AB
AC
的夾角為
π
3
;
(2)利用三角形的面積公式,代入(1)中算出的
|AB|
、
|AC|
與∠BAC的大小,即可算出△ABC的面積.
解答:解:(1)∵A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),
AB
=
OB
-
OA
=(-2,-1,3),
AC
=
OC
-
OA
=(1,-3,2),
由此可得
|AB|
=
(-2)2+(-1)2+32
=
14
|AC|
=
12+(-3)2+22
=
14

設(shè)
AB
AC
的夾角為θ,則cosθ=
AB
AC
|
AB
||
AC
|
=
-2+3+6
14
×
14
=
1
2
,
又∵θ∈[0,π],
∴θ=
π
3
,即
AB
AC
的夾角為
π
3
;
(2)∵
|AB|
=
|AC|
=
14
,
AB
AC
的夾角為
π
3
,即∠BAC=
π
3

∴△ABC的面積S=
1
2
|AB|
|AC|
•sin∠BAC=
1
2
×
14
×
14
×
3
2
=
7
3
2
點評:本題給出空間點A、B、C的坐標,求
AB
AC
的夾角大小與三角形ABC的面積.著重考查了空間向量的坐標運算、向量的數(shù)量積公式及其運算性質(zhì)、三角形的面積公式等知識,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知空間三點A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),則以AB,AC為邊的平行四邊形的面積是
7
3
7
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知空間三點A(0,0,2),B(0,2,2),C(2,0,2),求平面ABC的一個法向量.

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