Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)是曲線圖象上的兩個(gè)相異的點(diǎn)，若直線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)且,若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為;(2);（3）.

【解析】試題分析：

(1)利用題意求解 的解析式，然后求解分式不等式即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)對(duì)導(dǎo)函數(shù)分離系數(shù)，結(jié)合均值不等式的結(jié)論討論實(shí)數(shù) 的取值范圍即可；

(3)利用題意分析所給的問題，構(gòu)造函數(shù)，設(shè)設(shè)，

討論函數(shù) 的性質(zhì)即可得到實(shí)數(shù) 的取值范圍.

試題解析：

（1），

令或，

的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為.

即，所以，

令在上單調(diào)遞增，

∴，對(duì)恒成立，

,對(duì)恒成立，

又 ，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

，故.

（3），因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以是方程的兩個(gè)根，即，所以是方程的兩個(gè)根，

所以有，

∴

令，則，設(shè)，

∴，

∴在上單減，∴，

故.