【題目】已知函數(shù)， .

（1）求函數(shù)的定義域；

（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；

（3）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并加以證明.

【答案】（1）（2）函數(shù)F (x)是偶函數(shù)（3）在區(qū)間(0，1)上是減函數(shù)

【解析】試題分析：（1）由 可得函數(shù)f（x）+g（x）的定義域；

（2）根據(jù)F（﹣x）=F（x），可得：函數(shù)F （x）是偶函數(shù)；

（3）F（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)，作差可證明結(jié)論．

試題解析：

（1）要使函數(shù)有意義，則，

解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?/span>{x |}；

（2），其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

又，∴函數(shù)F (x)是偶函數(shù)．

（3）在區(qū)間(0，1)上是減函數(shù)．

設(shè)x1、x2∈(0，1)，x1 < x2，則

，

∵x1、x2∈(0，1)，x1 < x2

∴，即

∵x1、x2∈(0，1)，∴，

∴，故，即，

故在區(qū)間(0，1)上是減函數(shù)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系 中，以 為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.曲線 的極坐標(biāo)方程為 ，曲線 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)）， .
（Ⅰ）求曲線 的直角坐標(biāo)方程，并判斷該曲線是什么曲線？
（Ⅱ）設(shè)曲線 與曲線 的交點(diǎn)為 ， ， ，當(dāng) 時(shí)，求 的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3+3x2-9x ．
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，c]上的最小值為-5，求c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓 的半焦距為 ，原點(diǎn) 到經(jīng)過兩點(diǎn) 的直線的距離為 .

（Ⅰ）求橢圓 的離心率；
（Ⅱ）如圖， 是圓 的一條直徑，若橢圓 經(jīng)過 兩點(diǎn)，求橢圓 的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將函數(shù)y=cos2x的圖象向左平移 個(gè)單位，得到函數(shù)y=f（x）cosx的圖象，則f（x）的表達(dá)式可以是（ ）
A.f（x）=﹣2sinx
B.f（x）=2sinx
C.f（x）= sin2x
D.f（x）= （sin2x+cos2x）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x）滿足f（1+x）=﹣f（x），則下列結(jié)論： ①f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱；
②f（x）的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱；
③f（x）是周期函數(shù)，且2個(gè)它的一個(gè)周期；
④f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上是單調(diào)函數(shù)．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ． （填上你認(rèn)為所有正確結(jié)論的序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；

（2）判斷當(dāng)時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；

（3）若定義域?yàn)?/span>，解不等式.

【答案】（1）奇函數(shù)（2）增函數(shù)（3）

【解析】試題分析：（1）判斷與證明函數(shù)的奇偶性，首先要確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系，如果對(duì)定義域上的任意x，都滿足f(-x)=f(x)就是偶函數(shù)，如果f(-x)=-f(x)就是奇函數(shù)，否則是非奇非偶函數(shù)。（2）利函數(shù)單調(diào)性定義證明單調(diào)性，按假設(shè)，作差，化簡(jiǎn)，判斷，下結(jié)論五個(gè)步驟。（3）由（1）（2）奇函數(shù)在（-1，1）為單調(diào)函數(shù)，

原不等式變形為f(2x-1)<-f(x),即f(2x-1)<f(-x),再由函數(shù)的單調(diào)性及定義（-1，1）求解得x范圍。

試題解析：（1）函數(shù)為奇函數(shù)．證明如下：

定義域?yàn)?/span>

又

為奇函數(shù)

（2）函數(shù)在（-1，1）為單調(diào)函數(shù)．證明如下：

任取，則

，

即

故在（-1，1）上為增函數(shù)

（3）由（1）、（2）可得

則

解得：

所以，原不等式的解集為

【點(diǎn)睛】

（1）奇偶性：判斷與證明函數(shù)的奇偶性，首先要確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系，如果對(duì)定義域上的任意x，都滿足f(-x)=f(x)就是偶函數(shù)，如果f(-x)=-f(x)就是奇函數(shù)，否則是非奇非偶函數(shù)。

（2）單調(diào)性：利函數(shù)單調(diào)性定義證明單調(diào)性，按假設(shè)，作差，化簡(jiǎn)，定號(hào)，下結(jié)論五個(gè)步驟。

【題型】解答題
【結(jié)束】
22

【題目】已知函數(shù).

（1）若的定義域和值域均是，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若在區(qū)間上是減函數(shù)，且對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若，且對(duì)任意的，都存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)f（x）有最小正周期2，且當(dāng)x∈（0，1）時(shí)， ．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在（-1，1）上的解析式；
（Ⅱ）判斷f（x）在（0，1）上的單調(diào)性；
（Ⅲ）當(dāng)λ取何值時(shí)，方程f（x）=λ在（-1，1）上有實(shí)數(shù)解？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)點(diǎn)P在△ABC的BC邊所在的直線上從左到右運(yùn)動(dòng)，設(shè)△ABP與△ACP的外接圓面積之比為λ，當(dāng)點(diǎn)P不與B，C重合時(shí)，（ ）
A.λ先變小再變大
B.當(dāng)M為線段BC中點(diǎn)時(shí)，λ最大
C.λ先變大再變小
D.λ是一個(gè)定值

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