Question

（2013•江門(mén)二模）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，動(dòng)圓C過(guò)定點(diǎn)F（1，0），且與定直線x=-1相切．
（1）求動(dòng)圓圓心C的軌跡C₂的方程；
（2）中心在O的橢圓C₁的一個(gè)焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)點(diǎn)M（4，0）．若坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P在曲線C₂上，且直線l與橢圓C₁有公共點(diǎn)，求橢圓C₁的長(zhǎng)軸長(zhǎng)取得最小值時(shí)的橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的定義，動(dòng)圓圓心C的軌跡是以F（1，0）為焦點(diǎn)，x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，結(jié)合拋物線的基本概念即可求出C的軌跡C₂的方程；
（2）設(shè)P（m，n），直線l方程為y=k（x-4），根據(jù)OP被l垂直平分建立關(guān)于k、m、n的方程組，解之可得m=

8k2

1+k2

且n=-

8k

1+k2

．將P的坐標(biāo)關(guān)于k的形式代入拋物線方程，解之得k²=1，從而得到直線l的方程．然后根據(jù)直線l與橢圓C₁有公共點(diǎn)，兩方程聯(lián)解并運(yùn)用根的判別式解出a²+b²≥16，結(jié)合b²=a²-1可得a的最小值為

34

2

，由此即可得到橢圓C₁的長(zhǎng)軸長(zhǎng)取得最小值時(shí)的橢圓方程．

解答：解：（1）由題意，可得
∵圓心C到定點(diǎn)F（1，0）的距離與到定直線x=-1的距離相等
∴由拋物線定義知，C的軌跡C₂是以F（1，0）為焦點(diǎn)，
直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線
∴動(dòng)圓圓心C的軌跡C₂的方程為y²=4x．
（2）設(shè)P（m，n），直線l方程為y=k（x-4），則OP中點(diǎn)為（

m

2

，

n

2

），
∵O、P兩點(diǎn)關(guān)于直線y=k（x-4）對(duì)稱，
∴

n 2 =k( m 2 -4) k• n m =-1

，即

km-n=8k m+nk=0

，解之得

m= 8k2 1+k2 n=- 8k 1+k2

將其代入拋物線方程，得：（-

8k

1+k2

）²=4×

8k2

1+k2

，解之得k²=1．
設(shè)橢圓C₁的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
聯(lián)列 

y=k(x-4) x2 a2 + y2 b2 =1

，消去y得：（a²+b²）x²-8a²x+16a²-a²b²=0
由△=（-8a²）²-4（a²+b²）（16a²-a²b²）≥0，得a²+b²≥16，
注意到b²=a²-1，即2a²≥17，可得a≥

34

2

，即2a≥

34

，
因此，橢圓C₁長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為

34

，此時(shí)橢圓的方程為

x2

17 2

+

y2

15 2

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題給出動(dòng)點(diǎn)P滿足的條件，求P的軌跡方程并依此求橢圓C₁的長(zhǎng)軸長(zhǎng)取得最小值時(shí)的橢圓方程．著重考查了拋物線、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．