(本題滿分12分)
已知中心在原點O,焦點在x軸上的橢圓E過點(1,),離心率為.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)直線x+y+1=0與橢圓E相交于A、B(B在A上方)兩點,問是否存在直線l,使l與橢圓相交于C、D(C在D上方)兩點且ABCD為平行四邊形,若存在,求直線l的方程與平行四邊形ABCD的面積;若不存在,請說明理由.
(1)=1.(2)
解析試題分析:解:(Ⅰ)設(shè)橢圓的方程為=1(a>b>0),由題意可得
解得a2=4,b2=3.
∴橢圓的方程為=1. ……4分
(Ⅱ)由于直線x+y+1=0過橢圓的左焦點F1(-1,0),且斜率為-1,由對稱性可知,存在直線l過橢圓的右焦點F2(1,0),且斜率為-1的直線l:x+y-1=0符合題意.
直線x+y+1=0與直線x+y-1=0的距離為d==. ……7分
聯(lián)立得7x2-8x-8=0.
設(shè)C(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=-. ……9分
|CD|=×=×=.
故平行四邊形ABCD的面積S=×=. ……12分
考點:本試題主要是考查了橢圓方程的求解,以及直線與橢圓的位置關(guān)系。
點評:對于圓錐曲線方程的求解,一般應(yīng)用待定系數(shù)法來得到。同時要采用設(shè)而不求的聯(lián)立方程組的思想,研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知橢圓中心在原點,焦點在x軸上,離心率,過橢圓的右焦點且垂直于長軸的弦長為
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知直線與橢圓相交于兩點,且坐標(biāo)原點到直線的距離為,的大小是否為定值?若是求出該定值,不是說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為,且過點,為其右焦點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過點的直線與橢圓相交于、兩點(點在兩點之間),若與的面積相等,試求直線的方程.
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已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為,曲線的內(nèi)切圓半徑為.記為以曲線與坐標(biāo)軸的交點為頂點的橢圓.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)是過橢圓中心的任意弦,是線段的垂直平分線.是上異于橢圓中心的點.
(i)若(為坐標(biāo)原點),當(dāng)點在橢圓上運動時,求點的軌跡方程;
(ii)若是與橢圓的交點,求的面積的最小值.
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(本題滿分10分) 已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個橢圓,它的中心在原點,左焦點為,且過,設(shè)點.
(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若是橢圓上的動點,求線段中點的軌跡方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知中心在原點,焦點在坐標(biāo)軸上的橢圓,它的離心率為,一個焦點和拋物線的焦點重合,過直線上一點M引橢圓的兩條切線,切點分別是A,B.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若在橢圓上的點處的橢圓的切線方程是. 求證:直線恒過定點;并出求定點的坐標(biāo).
(Ⅲ)是否存在實數(shù),使得恒成立?(點為直線恒過的定點)若存在,求出的值;若不存在,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,斜率為1的直線過拋物線的焦點F,與拋物線交于兩點A,B,
(1)若|AB|=8,求拋物線的方程;
(2)設(shè)C為拋物線弧AB上的動點(不包括A,B兩點),求的面積S的最大值;
(3)設(shè)P是拋物線上異于A,B的任意一點,直線PA,PB分別交拋物線的準(zhǔn)線于M,N兩點,證明M,N兩點的縱坐標(biāo)之積為定值(僅與p有關(guān))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)雙曲線的離心率為2,坐標(biāo)原點到
直線AB的距離為,其中A,B.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若是雙曲線虛軸在軸正半軸上的端點,過作直線與雙曲線交于兩點,求
時,直線的方程.
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