【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,AD⊥平面PAB,AP⊥AB.
(1)求證:CD⊥AP;
(2)若CD⊥PD,求證:CD∥平面PAB.
【答案】
(1)證明:因?yàn)锳D⊥平面PAB,AP平面PAB,所以AD⊥AP.
又因?yàn)锳P⊥AB,AB∩AD=A,AB平面ABCD,AD平面ABCD,
所以AP⊥平面ABCD.
因?yàn)镃D平面ABCD,所以CD⊥AP
(2)證明:因?yàn)镃D⊥AP,CD⊥PD,且PD∩AP=P,PD平面PAD,AP平面PAD,
所以CD⊥平面PAD.①
因?yàn)锳D⊥平面PAB,AB平面PAB,所以AB⊥AD.
又因?yàn)锳P⊥AB,AP∩AD=A,AP平面PAD,AD平面PAD,
所以AB⊥平面PAD.②
由①②得CD∥AB,
因?yàn)镃D平面PAB,AB平面PAB,所以CD∥平面PAB
【解析】(1)推導(dǎo)出AD⊥AP,AP⊥AB,從而AP⊥平面ABCD,由此能證明CD⊥AP.(2)由CD⊥AP,CD⊥PD,得CD⊥平面PAD.再推導(dǎo)出AB⊥AD,AP⊥AB,從而AB⊥平面PAD,進(jìn)而CD∥AB,由此能證明CD∥平面PAB.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識,掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品,在一個銷售季度內(nèi),每售出1t該產(chǎn)品獲利潤500元,未售出的產(chǎn)品,每1t虧損300元.根據(jù)歷史資料,得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品.以x(單位:t,100≤x≤150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量,T(單位:元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤.
(1)將T表示為x的函數(shù);
(2)根據(jù)直方圖估計利潤T不少于57000元的概率;
(3)在直方圖的需求量分組中,以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個值,并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如:若x∈[100,110))則取x=105,且x=105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率,求T的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=cosxsin2x,下列結(jié)論中錯誤的是( )
A.y=f(x)的圖象關(guān)于(π,0)中心對稱
B.y=f(x)的圖象關(guān)于x= 對稱
C.f(x)的最大值為
D.f(x)既是奇函數(shù),又是周期函數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+(e﹣a)x﹣b,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).若不等式f(x)≤0恒成立,則 的最小值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解開展校園安全教育系列活動的成效,對全校學(xué)生進(jìn)行了一次安全意識測試,根據(jù)測試成績評定“合格”“不合格”兩個等級,同時對相應(yīng)等級進(jìn)行量化:“合格”記5分,“不合格”記0分.現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的答卷,統(tǒng)計結(jié)果及對應(yīng)的頻率分布直方圖如圖所示:
等級 | 不合格 | 合格 | ||
得分 | [20,40) | [40,60) | [60,80) | [80,100] |
頻數(shù) | 6 | a | 24 | b |
(1)求a,b,c的值;
(2)先用分層抽樣的方法從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人進(jìn)行座談,再從這10人中任選4人,記所選4人的量化總分為ξ,求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ);
(3)某評估機(jī)構(gòu)以指標(biāo)(,其中表示的方差)來評估該校開展安全教育活動的成效.若≥0.7,則認(rèn)定教育活動是有效的;否則認(rèn)定教育活動無效,應(yīng)調(diào)整安全教育方案.在(2)的條件下,判斷該校是否應(yīng)調(diào)整安全教育方案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)D是含數(shù)1的有限實(shí)數(shù)集,f(x)是定義在D上的函數(shù)。若f(x)的圖像繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖像重合,則在以下各項中,f(1)的取值只可能是( )
A. B. C. D. 0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f (x)=ex﹣ax﹣1,其中e為自然對數(shù)的底數(shù),a∈R.
(1)若a=e,函數(shù)g (x)=(2﹣e)x. ①求函數(shù)h(x)=f (x)﹣g (x)的單調(diào)區(qū)間;
②若函數(shù)F(x)= 的值域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若存在實(shí)數(shù)x1 , x2∈[0,2],使得f(x1)=f(x2),且|x1﹣x2|≥1,求證:e﹣1≤a≤e2﹣e.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面四邊形ABCD為菱形,A1A=AB=2,∠ABC= ,E,F(xiàn)分別是BC,A1C的中點(diǎn).
(1)求異面直線EF,AD所成角的余弦值;
(2)點(diǎn)M在線段A1D上, =λ.若CM∥平面AEF,求實(shí)數(shù)λ的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平頂山市公安局交警支隊依據(jù)《中華人民共和國道路交通安全法》第條規(guī)定:所有主干道路凡機(jī)動車途經(jīng)十字口或斑馬線,無論轉(zhuǎn)彎或者直行,遇有行人過馬路,必須禮讓行人,違反者將被處以元罰款,記分的行政處罰.如表是本市一主干路段監(jiān)控設(shè)備所抓拍的個月內(nèi),機(jī)動車駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計數(shù)據(jù):
月份 | |||||
違章駕駛員人數(shù) |
(Ⅰ)請利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)與月份之間的回歸直線方程;
(Ⅱ)預(yù)測該路段月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù).
參考公式:,.
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