【題目】若函數(shù)為定義域上單調(diào)函數(shù),且存在區(qū)間(其中),使得當(dāng)時(shí),的取值范圍恰為,則稱函數(shù)是上的正函數(shù),區(qū)間叫做等域區(qū)間.
(1)已知是上的正函數(shù),求的等域區(qū)間;
(2)試探究是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)是上的正函數(shù)?若存在,請求出實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2);
【解析】
試題分析:(1)由定義得當(dāng)時(shí), 代入解析式解方程組即可;(2)假設(shè)是區(qū)間上的正函數(shù),因?yàn)楹瘮?shù)是上的減函數(shù), 所以當(dāng)時(shí), 即, 兩式相減可得代入得,由和得,故關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有實(shí)數(shù)解,利用一元二次方程根的分布從對稱軸、判別式和區(qū)間端點(diǎn)值三方面得不等式組解出即可;遇到這類題可以先畫出符合的圖像,在列不等式組比較好,否則容易漏解.
試題解析:(1)因?yàn)?/span>是上的正函數(shù),且在上單調(diào)遞增, 所以當(dāng)時(shí), 即,解锝,故的等域區(qū)間為.
(2)因?yàn)楹瘮?shù)是上的減函數(shù),
所以當(dāng)時(shí), 即
兩式相減得,即,
代入得,
由,且得,
故關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有實(shí)數(shù)解,
記,則 解得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知恒等式(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n .
(1)求a1+a2+a3+…+a2n和a2+2a3+22a4+…+22n﹣2a2n的值;
(2)當(dāng)n≥6時(shí),求證: a2+2A a3+…+22n﹣2 a2n<49n﹣2 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+ax(a∈R),g(x)= (f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)),若方程g(f(x))=0有四個(gè)不等的實(shí)根,則a的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)P( ,m)到準(zhǔn)線的距離與到原點(diǎn)O的距離相等,拋物線的焦點(diǎn)為F.
(1)求拋物線的方程;
(2)若A為拋物線上一點(diǎn)(異于原點(diǎn)O),點(diǎn)A處的切線交x軸于點(diǎn)B,過A作準(zhǔn)線的垂線,垂足為點(diǎn)E.試判斷四邊形AEBF的形狀,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了分析某個(gè)高三學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài),對其下一個(gè)階段的學(xué)習(xí)提出指導(dǎo)性建議,某老師現(xiàn)對他前7次考試的數(shù)學(xué)成績x、物理成績y進(jìn)行分析.下面是該學(xué)生7次考試的成績.
(1)他的數(shù)學(xué)成績與物理成績哪個(gè)更穩(wěn)定?請給出你的證明.
(2)已知該學(xué)生的物理成績y與數(shù)學(xué)成績x是線性相關(guān)的,若該學(xué)生的物理成績達(dá)到115分,請你估計(jì)他的數(shù)學(xué)成績大約是多少?并請你根據(jù)物理成績與數(shù)學(xué)成績的相關(guān)性,給出該學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理上的合理建議.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知空間三點(diǎn),,
(1)求以為邊的平行四邊形的面積;
(2)若向量a分別與垂直,且|a|=,求a的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在長方形ABCD中,對角線AC與兩鄰邊所成的角分別為α,β,則cos2α+cos2β=1,則在立體幾何中,給出類比猜想并證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)甲校高二年級(jí)有1 100人,乙校高二年級(jí)有900人,為了統(tǒng)計(jì)兩個(gè)學(xué)校高二年級(jí)在學(xué)業(yè)水平考試中的數(shù)學(xué)學(xué)科成績,采用分層抽樣的方法在兩校共抽取了200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,如下表:(已知本次測試合格線是50分,兩校合格率均為100%)
甲校高二年級(jí)數(shù)學(xué)成績:
分組 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
頻數(shù) | 10 | 25 | 35 | 30 | x |
乙校高二年級(jí)數(shù)學(xué)成績:
分組 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
頻數(shù) | 15 | 30 | 25 | y | 5 |
(1)計(jì)算x,y的值,并分別估計(jì)以上兩所學(xué)校數(shù)學(xué)成績的平均分(精確到1分).
(2)若數(shù)學(xué)成績不低于80分為優(yōu)秀,低于80分的為非優(yōu)秀,根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)寫下面2×2列聯(lián)表,并回答能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“兩個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異?”
甲校 | 乙校 | 總計(jì) | |
優(yōu)秀 | |||
非優(yōu)秀 | |||
總計(jì) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ln x,g(x)= (a>0),設(shè)F(x)=f(x)+g(x).
(1)求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)y=F(x)(x∈(0,3])圖像上任意一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線的斜率k≤恒成立,求實(shí)數(shù)a的最小值.
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