Question

已知函數(shù)，函數(shù).
⑴當時，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有公共點，求實數(shù)的最大值；
⑵當時，試判斷函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的公共點的個數(shù)；
⑶函數(shù)的圖象能否恒在函數(shù)的上方？若能，求出的取值范圍；若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）的最大值為，（2）時，無公共點，時，有一個公共點，時，有兩個公共點；（3）當或時函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象的上方.

解析試題分析：（1）當時，由圖形可知一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)相切時，取最大值，可以用導數(shù)的幾何意義完成；（2）要研究兩函數(shù)的公共點個數(shù)，由函數(shù)的定義域可知只需考慮情況，當時，令得，則原命題等價于研究直線與函數(shù)的圖象的公共點的個數(shù)，因此利用導數(shù)研究函數(shù)圖象變化情況，易得結(jié)論；（3）把問題轉(zhuǎn)化為：在時恒成立問題，要注意對取值情況的討論.
試題解析：⑴，由一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象可知兩圖象相切時取最大值，設切點橫坐標為，，, 即實數(shù)的最大值為，⑵，即原題等價于直線與函數(shù)的圖象的公共點的個數(shù)，，在遞增且，在遞減且，時，無公共點，時，有一個公共點，時，有兩個公共點；⑶函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的上方；即在時恒成立，①時圖象開口向下，即在時不可能恒成立，②時，由⑴可得，時恒成立，時不成立，③時，若則，由⑵可得無最小值，故不可能恒成立，若則，故恒成立，若則，故恒成立，綜上，或時，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象的上方．
考點：導數(shù)的幾何意義，用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，最值，恒成立問題，滲透數(shù)形結(jié)合思想，分類討論的數(shù)學思想