Question

如圖，在四棱錐中，底面，底面是平行四邊形，， 是 的中點。

（1）求證：；

（2）求證：；

（3）若，求二面角 的余弦值．

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

【解析】

試題分析：（1）連接AC交BD于F，連接EF，由ABCD是平行四邊形，知F為AC的中點，由E為SC的中點，知SA∥EF，由此能夠證明SA∥平面BDE．
（2）由AB=2，AD=，∠BAD=30°，利用余弦定理得BD=1，由AD2+BD2=AB2，知AD⊥BD．由此能夠證明AD⊥SB．
（3）以DA為x軸，以DB為y軸，以DS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能夠求出二面角E-BD-C的余弦值．

試題解析：（1）證明：連接AC交BD于F，連結(jié)EF，由ABCD是平行四邊形，知F為AC的中點，又E為SC的中點，所以SA∥EF，∵SA?平面BDE，EF?平面BDE，

∴SA∥平面BDE． 4分

（2）由AB＝2，AD＝，∠BAD＝30?，由余弦定理得

∵　　　∴AD⊥BD．

∵SD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，

∴AD⊥SD，

∴AD⊥平面SBD，又SB?平面SBD，

∴AD⊥SB． 8分

（3）取CD的中點G，連結(jié)EG，FG，

則EG⊥平面BCD，且EG＝1，FG∥BC，且FG＝

∵AD⊥BD, AD∥BC，∴FG⊥BD，又∵EG⊥BD ∴BD⊥平面EFG，

∴BD⊥EF，故∠EFG是二面角E—BD—C的平面角

在Rt△EFG中

∴. 12分

考點：（1）空間線面的位置關(guān)系；（2）二面角的求法；（3）向量在立體幾何中的應(yīng)用.