Question

【題目】若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.

（Ⅰ）若，求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）若，方程至少有兩個(gè)不等的解，求的取值集合；

（Ⅲ）若函數(shù)為上的單調(diào)減函數(shù)，

①求的取值范圍；

②若不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值集合.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）①，②

【解析】

首先根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)解析式為，

（Ⅰ）將代入即可；（Ⅱ）將代入求出此時(shí)函數(shù)解析式，畫(huà)出函數(shù)圖象，方程的解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可求解；（Ⅲ）將各段函數(shù)配成標(biāo)準(zhǔn)式，求出其對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減求出參數(shù)的值，根據(jù)函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，最后解一元二次不等式即可；

解：因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.

設(shè)則，

因?yàn)?/span>

所以，，

綜上

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，可畫(huà)函數(shù)圖象如下所示：

因?yàn)榉匠?/span>至少有兩個(gè)不等的解，即函數(shù)與至少有兩個(gè)交點(diǎn)，

從函數(shù)圖象可知

即

（Ⅲ）因?yàn)楹瘮?shù)為上的單調(diào)減函數(shù)，

①當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸，所以在上單調(diào)遞減，

由于奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上單調(diào)性相同，所以在上單調(diào)遞減，

所以時(shí)，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，在遞增，在上遞減，不合題意，

所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)時(shí)，的范圍為．

②，，

又是奇函數(shù)，，

又因?yàn)?/span>為上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以，

即解得或

即