Question

已知函數(shù)f(x)=

a(x2+1)+x-1

x

-lnx(a∈R)．
（1）當(dāng)a＜

1

2

時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)g（x）=x²-2bx+4，當(dāng)a=

1

3

時(shí)，若對(duì)任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）+g（x₂）≤0，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

（1）f′(x)=a-

a-1

x2

-

1

x

=

(ax+a-1)(x-1)

x2

．（2分）
①當(dāng)

1-a

a

＞1時(shí)，即0＜a＜

1

2

時(shí)，此時(shí)f（x）的單調(diào)性如下：

x	（0，1）	1	（1， 1-a a ）	1-a a	（ 1-a a ，+∞）
f′（x）	+	0	_	0	+
f（x）	增		減		增

（4分）
②當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=

1-x

x2

，當(dāng)0＜x＜1時(shí)f（x）遞增；
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）遞減；（5分）
③當(dāng)a＜0時(shí)，

1-a

a

＜0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)f（x）遞增；
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）遞減；（6分）
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，f（x）在（0，1），（

1-a

a

，+∞）上是增函數(shù)，
在（1，

1-a

a

）上是減函數(shù)．（7分）
（2）由（1）知，當(dāng)a=

1

3

時(shí)，f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，2）上是減函數(shù)．
于是x₁∈（0，2）時(shí)，f(x1)∈(-∞，

2

3

]．（8分）
從而存在x₂∈[1，2]，
使g（x₂）=

x

22

-2bx2+4≤[-f(x1)]min=-

2

3

?[g(x)]min≤-

2

3

，x∈[1，2]（10分）
考察g（x）=x²-2bx+4=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]的最小值．
①當(dāng)b≤1時(shí)，g（x）在[1，2]上遞增，[g（x）]_min=g(1)=5-2b≤-

2

3

，b≥

17

6

（舍去）..（11分）
②當(dāng)b≥2時(shí)，，g（x）在[1，2]上遞減，[g(x)]min=g(2)=8-4b≤-

2

3

，b≥

13

6

∴b≥

13

6

..（12分）
③當(dāng)1＜b＜2時(shí)，g(x)min=g(b)=4-b2≤-

2

3

，無解．（13分）
綜上b≥

13

6

（14分）