Question

(本題滿分16分) 本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分,第3小題滿分2分. 
設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．
（1）若為的中點(diǎn)，求證:；
（2）寫出上述命題的逆命題并證明此逆命題為真；
（3）請(qǐng)你類比橢圓中（1）、（2）的結(jié)論，寫出雙曲線中類似性質(zhì)的結(jié)論（不必證明）．

Answer 1

（1）設(shè)， 
 ，
又
（2）逆命題：設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．若，則為的中點(diǎn)．
證明：由方程組
因?yàn)橹本�交橢圓于兩點(diǎn)，
所以，即，設(shè)、、
則 ， 
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004717281745.png" style="vertical-align:middle;" />，所以
，故E為CD的中點(diǎn)．
（3）為中點(diǎn)的充要條件是．

試題分析：（1）解法一：設(shè)
 
 ，
又
解法二（點(diǎn)差法）：設(shè)
，
兩式相減得
即 

 
（2）逆命題：設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．若，則為的中點(diǎn)．
證法一：由方程組
因?yàn)橹本�交橢圓于兩點(diǎn)，
所以，即，設(shè)、、
則 ， 
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004717281745.png" style="vertical-align:middle;" />，所以
，故E為CD的中點(diǎn)．
證法二：設(shè)
則，
兩式相減得
即 
又，即

得，即為的中點(diǎn)．
（3）設(shè)直線交雙曲線于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．則為中點(diǎn)的充要條件是．
點(diǎn)評(píng)：求過(guò)定點(diǎn)的圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題，通常有下面兩種方法：（1）點(diǎn)差法，即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程后相減，得到弦中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線斜率的關(guān)系，從而求出直線方程．（2）聯(lián)立法，即將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理與判別式求解．