Question

已知函數(shù)的最大值為0，其中。

（1）求的值；

（2）若對任意，有成立，求實數(shù)的最大值；

（3）證明：

 

Answer 1

【答案】

（1） ;（2）;（3）詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)的特征可對函數(shù)求導，由導數(shù)等于零，可求出函數(shù)的零點，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系：導數(shù)大于零，函數(shù)在對應區(qū)間上單調(diào)增，導數(shù)小于零，函數(shù)在對應區(qū)間上單調(diào)減，就可用表示出函數(shù)的最大值進而求出;（2）先定性分析的范圍，發(fā)現(xiàn)當時，易得，即可得出矛盾，進而只有小于零，對函數(shù)求導后得出導數(shù)為零的，再根據(jù)與零的大小關系，可發(fā)現(xiàn)要以為界進行討論，又由結合函數(shù)的單調(diào)性不難得出只有時不等式 恒成立; （3）當時，不等式顯然成立; 當時，首先結合（1）中所求函數(shù)得出求和的表達式，這樣與所要證不等式較近了，再結合（2）中所證不等式，取的最大值，即，兩式相結合，最后用放縮法可證得所要證明不等式．

試題解析：（1） 定義域為

,由=0，得 .        1分

當變化時，，變化情況如下

	(-a,1-a)	1-a	(1-a,+∞)
	+	0	-
	增	極大值	減

因此，在 處取得最大值，故 ,所以 .       3分

（2）當時，取有，故不合題意;當時，令，令，得，①時，中恒成立，因此在單調(diào)遞增，從而對任意的，總有，即在恒成立．故符合題意; ②當時，對于，故在內(nèi)單調(diào)遞減，因此取，即不成立，故不合題意，綜上，的最大值為.

（3）當 時，不等式左邊右邊，不等式成立.

當時，

   10分

在（2）中取

∴

 =

   .

綜上，           12分

考點：1.導數(shù)在函數(shù)中的運用;2.數(shù)列求和;3.不等式的證明