Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²-x，a∈R．
（1）若函數(shù)y=f（x）在其定義域內是單調增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）設函數(shù)y=f（x）的圖象被點P（2，f（2））分成的兩部分為c₁，c₂（點P除外），該函數(shù)圖象在點P處的切線為l，且c₁，c₂分別完全位于直線l的兩側，試求所有滿足條件的a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數(shù)y=f（x）在其定義域內是單調增函數(shù)只需要2ax²+x-1≤0對任意的x》0恒成立?成立，利用二次函數(shù)的性質可求得a的取值范圍；
（2）依題意可求得f（x）在點x=2處的切線l方程，假設滿足條件的a存在，令，對a分類討論，利用導數(shù)工具研究它的性質，利用g′（x）的單調性即可分析判斷a是否存在．
解答：解：（1），…（2分）
只需要2ax²+x-1≤0，即，
所以．…（4分）
（2）因為．
所以切線l的方程為．
令，則g（2）=0.．…（6分）
若a=0，則，
當x∈（0，2）時，g'（x）＞0；當x∈（2，+∞）時，g'（x）＜0，
所以g（x）≥g（2）=0，c₁，c₂在直線l同側，不合題意；…（8分）
若a≠0，，
若，，g（x）是單調增函數(shù)，
當x∈（2，+∞）時，g（x）＞g（2）=0；當x∈（0，2）時，g（x）＜g（2）=0，符合題意；…（10分）
若，當時，g'（x）＜0，g（x）＞g（2）=0，
當x∈（2，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）＞g（2）=0，不合題意； …（12分）
若，當時，g'（x）＜0，g（x）＜g（2）=0，
當x∈（0，2）時，g'（x）＞0，g（x）＜g（2）=0，不合題意； …（14分）
若a＞0，當x∈（0，2）時，g'（x）＞0，g（x）＜g（2）=0，
當x∈（2．+∞）時，g'（x）＜0，g（x）＜g（2）=0，不合題意．
故只有符合題意．  …（16分）
點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，著重考查構造函數(shù)的思想，函數(shù)與方程，分類討論與化歸思想的綜合運用，屬于難題．