【題目】(本題滿分15分)已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為的橢圓過(guò)點(diǎn)(，)．

(Ⅰ) 求橢圓的方程；

(Ⅱ) 設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與該橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，滿足直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，求△OPQ面積的取值范圍．

【答案】(1)；（2）.

【解析】

(Ⅰ) 解：由題意可設(shè)橢圓方程為(a＞b＞0)，

則故

所以，橢圓方程為． ……………………………5分

(Ⅱ) 解：由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，

故可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m(m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

由消去y得

(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，

則Δ＝64k2b2－16(1＋4k2b2)(b2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0，

且，．

故 y1 y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2．

因?yàn)橹本�OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，

所以＝＝k2，

即＋m2＝0，又m≠0，

所以k2＝，即k＝．

由于直線OP，OQ的斜率存在，且Δ＞0，得

0＜m2＜2 且m2≠1．

設(shè)d為點(diǎn)O到直線l的距離，

則S△OPQ＝d |PQ |＝|x1－x2 | |m |＝，

所以S△OPQ的取值范圍為 (0，1)． ……………………………15分

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了調(diào)查教師對(duì)教育改革認(rèn)識(shí)水平，現(xiàn)從某市年齡在的教師隊(duì)伍中隨機(jī)選取100名教師，得到的頻率分布直方圖如圖所示，若從年齡在中用分層抽樣的方法選取6名教師代表．

（1）求年齡在中的教師代表人數(shù)；

（2）在這6名教師代表中隨機(jī)選取2名教師，求在中至少有一名教師被選中的概率．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知某工廠要設(shè)計(jì)一個(gè)部件（如圖陰影部分所示），要求從圓形鐵片上進(jìn)行裁剪，部件由三個(gè)全等的矩形和一個(gè)等邊三角形構(gòu)成，設(shè)矩形的兩邊長(zhǎng)分別為,（單位：cm），且要求 ，部件的面積是．

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求定義域；

（2）為了節(jié)省材料，請(qǐng)問(wèn)x取何值時(shí)，所用到的圓形鐵片面積最小，并求出最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】(1)求與直線3x＋4y－7＝0垂直，且與原點(diǎn)的距離為6的直線方程；

(2)求經(jīng)過(guò)直線l1：2x＋3y－5＝0與l2：7x＋15y＋1＝0的交點(diǎn)，且平行于直線x＋2y－3＝0的直線方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公園舉辦雕塑展覽吸引著四方賓客，旅游人數(shù)與人均消費(fèi)（元）的關(guān)系如下：．

（1）若游客客源充足，那么當(dāng)天接待游客多少人時(shí)，公園的旅游收入最多？

（2）若公園每天運(yùn)營(yíng)成本為5萬(wàn)元（不含工作人員的工資），還要上繳占旅游收入的稅收，其余自負(fù)盈虧，目前公園的工作人員維持在40人，要使工作人員平均每人每天的工資不低于100元，并維持每天正常運(yùn)營(yíng)（不負(fù)債），每天的游客人數(shù)應(yīng)控制在怎樣的合理范圍內(nèi)？（注：旅游收入=旅游人數(shù)×人均消費(fèi)）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（1）求和的直角坐標(biāo)方程；

（2）若曲線截直線所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的斜率．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓：的離心率，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)且傾斜角為的直線與圓相交所得弦長(zhǎng)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，若存在，求直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)及圓.

（1）若直線過(guò)點(diǎn)且被圓截得的線段長(zhǎng)為，求的方程；

（2）求過(guò)點(diǎn)的圓的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，其中．

(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；

(2)若對(duì)任意的（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）都有≥成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案