【題目】直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=2, =λ .
(1)若λ=1,求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值;
(2)若二面角B1﹣A1C1﹣D的大小為60°,求實(shí)數(shù)λ的值.
【答案】
(1)解:分別以AB,AC,AA1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),A1(0,0,2),B1(2,0,2),C1(0,4,2),
當(dāng)λ=1時,D為BC的中點(diǎn),∴D(1,2,0),
=(1,﹣2,2), =(0,4,0), =(1,2,﹣2),
設(shè)平面A1C1D的法向量為 =(x,y,z),
則 ,取x=2,
得 =(2,0,1),
又cos< >= = = ,
∴直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值為 .)
(2)解:∵ = ,∴D( , ,0),
∴ =(0,4,0), =( , ,﹣2),
設(shè)平面A1C1D的法向量為 =(x,y,z),
則 ,取z=1,得 =(λ+1,0,1).
又平面A1B1C1的一個法向量為 =(0,0,1),
∵二面角B1﹣A1C1﹣D的大小為60°,
∴|cos< >|=| |= = ,
解得 或 (不合題意,舍去),
∴實(shí)數(shù)λ的值為 .
【解析】(1)分別以AB,AC,AA1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值.(2)求出平面A1C1D的法向量和平面A1B1C1的一個法向量,利用向量法能求出實(shí)數(shù)λ的值.
【考點(diǎn)精析】利用空間角的異面直線所成的角對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)求證:函數(shù)f(x)在實(shí)數(shù)集R上為增函數(shù);
(2)設(shè)g(x)=log2f(x),若關(guān)于x的方程g(x)=a有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一位網(wǎng)民在網(wǎng)上光顧某網(wǎng)店,經(jīng)過一番瀏覽后,對該店鋪中的A,B,C三種商品有購買意向.已知該網(wǎng)民購買A種商品的概率為 ,購買B種商品的槪率為 ,購買C種商品的概率為 .假設(shè)該網(wǎng)民是否購買這三種商品相互獨(dú)立
(1)求該網(wǎng)民至少購買2種商品的概率;
(2)用隨機(jī)變量η表示該網(wǎng)民購買商品的種數(shù),求η的槪率分布和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性;
(2)已知函數(shù),若,且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知斜三棱柱, , , 在底面上的射影恰為的中點(diǎn),且.
(1)求證: 平面;
(2)求到平面的距離;
(3)求二面角的平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列函數(shù):①f(x)=3|x| , ②f(x)=x3 , ③f(x)=ln ,④f(x)= ,⑤f(x)=﹣x2+1中,既是偶函數(shù),又是在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減函數(shù)為 . (寫出符合要求的所有函數(shù)的序號).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,過點(diǎn)D作AC的平行線DE,交BA的延長線于點(diǎn)E.求證:
(1)△ABC≌△DCB;
(2)DEDC=AEBD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是邊長為的正方形,側(cè)面底面,且,設(shè)分別為的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求證:面平面;
(3)求三棱錐的體積.
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