Question

【題目】如圖：橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)、，它們在軸右側(cè)有兩個交點(diǎn)、，滿足.將直線左側(cè)的橢圓部分（含， 兩點(diǎn)）記為曲線，直線右側(cè)的雙曲線部分（不含， 兩點(diǎn)）記為曲線.以為端點(diǎn)作一條射線，分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），設(shè)此時.

（1）求的方程；

（2）證明： ，并探索直線與斜率之間的關(guān)系；

（3）設(shè)直線交于點(diǎn)，求的面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓方程求出右焦點(diǎn)，根據(jù)得到、關(guān)于軸對稱，所以求出， ，所以求出雙曲線的方程；（2）設(shè) ，得， ，由，得，即，又因?yàn)?/span> 分別在曲線和上，有，

，消去，得， （*），所以點(diǎn)坐標(biāo)為， .所以直線的斜率，直線的斜率.所以與斜率之和為零；（3）由（2）知直線與關(guān)于軸對稱，結(jié)合橢圓的對稱性知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，故，所以 ，利用函數(shù)單調(diào)求出的范圍。

試題解析：（1）由條件，得，根據(jù)知， 、、三點(diǎn)共線，

且由橢圓與雙曲線的對稱性知， 、關(guān)于軸對稱，

故所在直線為，從而得， .

所以， ，又因?yàn)?/span>為雙曲線的焦點(diǎn)，所以，

解得.

因此， 的方程為.

（2）由 ，得， ，

由條件，得，即，

由 分別在曲線和上，有，

，消去，得，

（*），

將代入方程（*），成立，因此（*）有一根，結(jié)合韋達(dá)定理得另一根為，因?yàn)?/span>，所以，舍去.

所以， .

從而點(diǎn)坐標(biāo)為.

所以，直線的斜率，

由，得.

所以，直線的斜率.

因此， 與斜率之和為零.

（3）由（2）知直線與關(guān)于軸對稱，結(jié)合橢圓的對稱性知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，故，

因此， ，

，

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，

所以的取值范圍是.