(1)求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(2)是否存在實(shí)數(shù)t,使得線段AB(包括兩端點(diǎn))與直線x=1相交?若存在,求出t的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(文)已知函數(shù)f(x)=mx3-x的圖像上,以N(1,n)為切點(diǎn)的切線的傾斜角為.
(1)求m,n的值;
(2)是否存在最小的正整數(shù)k,使得不等式f(x)≤k-1991對(duì)于x∈[-1,3]恒成?如果存在,請(qǐng)求出最小的正整數(shù)k;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
(3)求證:|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)(x∈R,t>0).
答案:(理)(1)f′(x)=9+
依題意可知,a>0,b>0,f′(a)=f′(b)=0,a≠b,
∴a、b為f′(x)=0的兩個(gè)正根
∴
又A=(-6t)2-4×9×2t=36t(t-2)>0,
∴t>2或t<2(不合題意),故得t<2.
(2)依題意得(a-1)(b-1)≤0ab-(a+b)+1≤0+1≤0t≥,符合t>2.故當(dāng)t≥時(shí),線段AB與直線x=1相交.
(文)(1)求導(dǎo)數(shù),有f′(x)=3mx2-1.
依題意得tan=f′(1),即1=3m-1,m=,
∴f(x)=x3-x,又f(1)=n,故n=.
(2)令f′(x)=2x2-1=0,得x=.
當(dāng)-1≤x<時(shí),f′(x)=2x2-1>0;
當(dāng)<x≤3時(shí),f′(x)=2x2-1<0;
當(dāng)<x<時(shí),f′(x)=2x2-1<0.
又f(-1)=,f()=,f()=,f(3)=15.
因此,當(dāng)x∈[-1,3]時(shí),≤f(x)≤15
故要使得不等式f(x)≤k-1991對(duì)于x∈[-1,3]恒成立,則k≥15+1991=2006.
所以,存在最小的正整數(shù)k=2006使得不等式f(x)≤k-1991對(duì)于x∈[-1,3]恒成立.
(3)解法一:|f(sinx)+f(cosx)|
=|(sin3x-sinx)+(cos3x-cosx)|
=|(sin3x+cos3x)-(sinx+cosx)|
=|(six+cosx)[(sin2x-sinxcosx+cos2x)-1]|
=|sinx+cosx|·|sinxcosx|
=|sinx+cosx|3
=|sin(x+)|2≤.
又∵t>0,∴t+≥,t2+≥1.
∴2f(t+)=2(t+)[]≥.
綜上可得,|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+),x∈R,t>0.
解法二:由(2)知,函數(shù)f(x)在[-1,]上是增函數(shù);在[]上是減函數(shù);在[,1]上是增函數(shù).
又因?yàn)閒(-1)=,f()=,f()=,f(1)=.
所以,當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),≤f(x)≤,
即|f(x)|≤.
因?yàn)閟inx,cosx∈[-1,1],所以|f(sinx)|≤,|f(cosx)|≤
所以|f(sinx)+f(cosx)|≤|f(sinx)|+|f(cosx)|≤+≤.
又因?yàn)閠>0,所以t+≥>1且函數(shù)f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù).
所以2f(t+)≥2f()=.
綜上可知|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+),x∈R。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
4 | x |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(09年?yáng)|城區(qū)示范校質(zhì)檢一理)(14分)
設(shè)函數(shù)f(x)是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí), (a為實(shí)數(shù)).
(Ⅰ)求當(dāng)時(shí),f(x)的解析式;
(Ⅱ)若上是增函數(shù),求a的取值范圍;
(Ⅲ)是否存在a,使得當(dāng)時(shí),f(x)有最大值-6.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(07年陜西卷理)(12分)
設(shè)函數(shù)f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)m的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的最小值及此時(shí)x的值的集合.
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