Question

已知點P（4，4），圓C：（x-m）²+y²=5（m＜3）與橢圓E：（a＞b＞0）有一個公共點A（3，1），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左，右焦點，直線PF₁與圓C相切。

（1）求m的值與橢圓E的方程；
（2）設Q為橢圓E上的一個動點，求的取值范圍。

Answer 1

解：（1）點A代入圓C方程得

∵m＜3
∴m=1
圓C：
設直線PF₁的斜率為k
則PF₁：
即
∵直線PF₁與圓C相切
∴
解得或
當時，直線PF₁與x軸的交點橫坐標為，不合題意，舍去
當時，直線PF₁與x軸的交點橫坐標為-4
∴c=4，F(xiàn)₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），2a=AF₁+AF₂=，
，a²=18，b²=2
橢圓E的方程為：。
（2），設Q（x，y），，

∵，
即，
而，
∴-18≤6xy≤18
則的取值范圍是[0，36]
的取值范圍是[-6，6]
∴的取值范圍是[-12，0]。