【題目】已知函數(shù)
(1)若f(x)在[1,e]上的最小值為 ,求a的值;
(2)若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍.
【答案】
(1)解:f′(x)= + = 令f′(x)<0得x<﹣a,令f′(x)>0,得x>﹣a,
①﹣a≤1,即a≥﹣1時(shí),f(x)在[1,e]上單增,f(x)最小值=f(1)=﹣a= ,a=﹣ <﹣1,不符,舍;
②﹣a≥e,即a≤﹣e時(shí),f(x)在[1,e]上單減,f(x)最小值=f(e)=1﹣ = ,a=﹣ >﹣e,不符,舍;
③1<﹣a<e,即﹣e<a<﹣1時(shí),f(x)在[1,﹣a]上單減,在[﹣a,e]上單增,f(x)最小值=f(﹣a)=ln(﹣a)+1= ,a=﹣ ,滿足;
綜上a=﹣ .
(2)解:由題意,只需a>xlnx﹣x3,x∈(1,+∞)恒成立,
令h(x)=xlnx﹣x3,h'(x)=lnx+1﹣3x2,h'(x)= ﹣6x= <0 在(1,+∞)上恒成立,
∴h'(x)在(1,+∞)上單減,又h'(1)=﹣2<0,
∴h'(x)<0 在(1,+∞)上恒成立,h(x)在(1,+∞)上單減,又h(1)=﹣1,
∴h(x)<﹣1在(1,+∞)上恒成立,
∴a≥﹣1
【解析】(1)求導(dǎo),令f′(x)=0得x=﹣a,以﹣a在[1,e]內(nèi),左,右分為三類來(lái)討論,函數(shù)在[1,e]上的單調(diào)性,進(jìn)而求出最值,令其等于 ,求出a的值,由范圍來(lái)取舍,得了a的值.(2)將f(x)代入不等式,分離出a,寫(xiě)在不等式的左邊,設(shè)右邊為函數(shù)h(x),求導(dǎo),再求導(dǎo),得出導(dǎo)數(shù)的正負(fù),從而得出h'(x)的單調(diào)性,求最值,得出h'(x)的正負(fù),得出h(x)的單調(diào)性,求出h(x)的最小值,得出a的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家,某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案,擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x(噸),一位居民的月用水量不超過(guò)x的部分按平價(jià)收費(fèi),超出x的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況,通過(guò)抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5)分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求直方圖中a的值;
(2)設(shè)該市有30萬(wàn)居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),并說(shuō)明理由;
(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)x(噸),估計(jì)x的值,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】橢圓C:過(guò)點(diǎn)M(2,0),且右焦點(diǎn)為F(1,0),過(guò)F的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P(4,3),記PA、PB的斜率分別為k1和k2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如果直線l的斜率等于-1,求出k1k2的值;
(3)探討k1+k2是否為定值?如果是,求出該定值;如果不是,求出k1+k2的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)為,它在軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和.
(1)求解析式及的值;
(2)求的單調(diào)增區(qū)間;
(3)若時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1) 把的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍,再將橫坐標(biāo)向右平移 個(gè)單位,可得圖象,求,的值;
(2) 若對(duì)任意實(shí)數(shù)和任意,恒有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=-x2+2mx+7.
(Ⅰ)已知函數(shù)y=(x)在區(qū)間[1,3]上的最小值為4,求m的值;
(Ⅱ)若不等式f(x)≤x2-6x+11在區(qū)間[1,2]上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=4,CB=2,AA1=2,∠ACB=60°,E、F分別是A1C1 , BC的中點(diǎn).
(1)證明:平面AEB⊥平面BB1C1C;
(2)證明:C1F∥平面ABE;
(3)設(shè)P是BE的中點(diǎn),求三棱錐P﹣B1C1F的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知某算法的程序框圖如圖所示,若將輸出的(x,y)值依次記為(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),…
(1)若程序運(yùn)行中輸出的一個(gè)數(shù)組是(9,t),求t的值.
(2)程序結(jié)束時(shí),共輸出(x,y)的組數(shù)為多少?
(3)寫(xiě)出程序框圖的程序語(yǔ)句.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)的一段圖象如右圖所示:
(1)求函數(shù)的解析式及其最小正周期;
(2)求使函數(shù)取得最大值的自變量的集合及最大值;
(3)求函數(shù)在的單調(diào)遞增區(qū)間.
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