Question

（本小題滿分14分）
設(shè)數(shù)列的前項和為，對任意的正整數(shù)，都有成立，記。
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）記，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：對任意正整數(shù)都有；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列的前項和為。已知正實數(shù)滿足：對任意正整數(shù)恒成立，求的最小值。

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）證明見解析。
（Ⅲ）4

本小題主要考查數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識、考查化歸思想、分類整合思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力。
（Ⅰ）當(dāng)時，
又

數(shù)列成等比數(shù)列，其首項，公比是

……………………………………..3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

=
又
當(dāng)
當(dāng)

（Ⅲ）由（Ⅰ）知
一方面，已知恒成立，取n為大于1的奇數(shù)時，設(shè)
則


>
對一切大于1的奇數(shù)n恒成立
只對滿足的正奇數(shù)n成立，矛盾。
另一方面，當(dāng)時，對一切的正整數(shù)n都有
事實上，對任意的正整數(shù)k，有



當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)
則
<
當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè)
則
<
對一切的正整數(shù)n，都有
綜上所述，正實數(shù)的最小值為4………………………….14分