Question

如圖，把橢圓

x2

25

+

y2

16

=1的長(zhǎng)軸AB分成8等份，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P₁，P₂，P₃，P₄，P₅，P₆，P₇七個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|+|P₄F|+|P₅F|+|P₆F|+|P₇F|=（　�。�

• A、40
• B、30
• C、32
• D、35

Answer 1

分析：根據(jù)題意要求的是焦半徑的和因此可利用橢圓的第二定義可得焦半徑的通式|PF|=5-

3

5

x，所以所求的焦半徑的和即可轉(zhuǎn)化為各點(diǎn)橫坐標(biāo)的和，故需根據(jù)對(duì)稱性分析出p₄點(diǎn)為橢圓與Y軸正半軸的交點(diǎn)且P₁，P₂，P₃與P₅，P₆，P₇分別關(guān)于Y軸對(duì)稱然后代入化簡(jiǎn)即可．

解答：解：不妨設(shè)P點(diǎn)是橢圓上的任意點(diǎn)則由橢圓的第二定義可得：

|PF|

a2 c - x

= 

c

a

又a=5，b=4，c=

a2- b2

=3故|PF|=5-

3

5

x  ①
∵把橢圓

x2

25

+

y2

16

=1的長(zhǎng)軸AB分成8等份，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P₁，P₂，P₃，P₄，P₅，P₆，P₇七個(gè)點(diǎn)
∴p₄點(diǎn)為橢圓與Y軸正半軸的交點(diǎn)且P₁，P₂，P₃與P₅，P₆，P₇分別關(guān)于Y軸對(duì)稱
∴不妨設(shè)p₁（x₁，y₁），p₂（x₂，y₂），p₃（x₃，y₃）且x₁＜0，x₂＜0，x₃＜0，p₄（0，4）
∴p₅（-x₃，y₃），p₆（-x₂，y₂），p₇（-x₁，y₁）
∴由①可得|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|+|P₄F|+|P₅F|+|P₆F|+|P₇F|=（5+

3

5

x1）+(5+

3

5

x2)+(5+

3

5

x3)+(5-

3

5

×0)+ (5-

3

5

x3)+(5-

3

5

x2)+(5-

3

5

x1)
∴|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|+|P₄F|+|P₅F|+|P₆F|+|P₇F|=5×7=35
故答案選D

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用橢圓的第二定義求橢圓的焦半徑的和．解題的關(guān)鍵是要利用橢圓的第二定義可得焦半徑的通式|PF|=5-

3

5

x再根據(jù)對(duì)稱性得出p₄點(diǎn)為橢圓與Y軸正半軸的交點(diǎn)且P₁，P₂，P₃與P₅，P₆，P₇分別關(guān)于Y軸對(duì)稱同時(shí)橢圓的準(zhǔn)線方程形式：x=

+

.

a2

c

或y=

+

.

a2

c

也要熟記！