Question

（2010•廣東模擬）已知函數(shù)f（x）=lnx，g(x)=

1

2

x2，
（I）設(shè)函數(shù)F（x）=ag（x）-f（x）（a＞0），若F（x）沒有零點，求a的取值范圍；
（II）若x₁＞x₂＞0，總有m[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求函數(shù)F（x）的導(dǎo)函數(shù)，通過解不等式得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得函數(shù)的極小值，證明此極小值恒大于零，即可證明函數(shù)F（x）沒有零點；
（II）先利用函數(shù)單調(diào)性的定義，將所求問題轉(zhuǎn)化為新函數(shù)h（x）=mg（x）-xf（x）=

1

2

mx²-xlnx，在（0，+∞）上為增函數(shù)問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，通過求函數(shù)最值法解決恒成立問題，即得所求結(jié)果

解答：解：（I）F（x）=ag（x）-f（x）=

1

2

ax²-lnx，
F′（x）=ax-

1

x

=

ax2-1

x

   （x＞0）
∴函數(shù)F（x）在（0，

1 a

）上為減函數(shù)，在（

1 a

，+∞）上為增函數(shù)
若F（x）沒有零點，須且只須F（

1 a

）＞0，
即

1

2a

+

1

2

lna＞0，即

1

a

+lna＞0
設(shè)g（a）=

1

a

+lna，∵g′（a）=

a-1

a2

∴g（a）在（0，1）而為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，而g（1）=1＞0
∴g（a）＞0，即當(dāng)a＞0時，

1

a

+lna＞0恒成立
故若F（x）沒有零點，則a的取值范圍為（0，+∞）
（II）若x₁＞x₂＞0，總有m[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）成立，
即若x₁＞x₂＞0，總有mg（x₁）-x₁f（x₁）＞mg（x₂）-x₂f（x₂）成立，
即函數(shù)h（x）=mg（x）-xf（x）=

1

2

mx²-xlnx，在（0，+∞）上為增函數(shù)，
即h′（x）=mx-lnx-1≥0在（0，+∞）上恒成立
即m≥

lnx+1

x

在（0，+∞）上恒成立
設(shè)G（x）=

lnx+1

x

，則G′（x）=

-lnx

x2

∴G（x）在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，+∞）上為減函數(shù)，
∴G（x）≤G（1）=1
∴m≥1

點評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)運算和導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性、極值、最值、零點問題中的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)解決問題的能力和技巧，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，有一定難度，屬難題