【題目】已知橢圓的左頂點為,離心率為,點在橢圓上.

(1)求橢圓的方程;

(2)若直線與橢圓交于,兩點,直線,分別與軸交于點,,求證:在軸上存在點,使得無論非零實數(shù)怎樣變化,總有為直角,并求出點的坐標.

【答案】(1);(2)見解析

【解析】

(1)依題意,根據(jù)離心率,得,再由點在橢圓上,得到,聯(lián)立方程組,求得的值,即可求得橢圓的方程;

(2)聯(lián)立方程組解得,,求得所在直線方程,求得點坐標,再利用向量的數(shù)量積的運算,求得點P的坐標,得到結論.

(1)依題意,,所以 ①,

又因為點在橢圓上,所以 ②,

由①②解得,,所以橢圓方程為.

(2)設,,則,不妨令.

可得,解得,,

,所以所在直線方程為

所在直線方程為,

可得,同理可得,

所以

所以,,所以

所以存在點且坐標為

使得無論非零實數(shù)怎么變化,總有為直角.

練習冊系列答案
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