Question

【題目】已知定義在R上的偶函數(shù)滿足：f（x+4）=f（x）+f（2），且當x∈[0，2]時，y=f（x）單調(diào)遞減，給出以下四個命題：
①f（2）=0；
②x=﹣4為函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸；
③函數(shù)y=f（x）在[8，10]單調(diào)遞增；
④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的兩根為x1 ， x2 ， 則x1+x2=﹣8．
上述命題中所有正確命題的序號為 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，

∴f（﹣x）=f（x），

可得f（﹣2）=f（2），

在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2得

f（2）=f（﹣2）+f（2），

∴f（﹣2）=f（2）=0，

∴f（x+4）=f（x），∴函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，又當x∈[0，2]時，y=f（x）單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)的奇偶性畫出函數(shù)f（x）的簡圖，如圖所示．

從圖中可以得出：

②x=﹣4為函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸；

③函數(shù)y=f（x）在[8，10]單調(diào)遞減；

④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的兩根為x1，x2，則x1+x2=﹣8．

所以答案是：①②④．

【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解命題的真假判斷與應(yīng)用的相關(guān)知識，掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系，以及對函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的理解，了解單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．