Question

【題目】如圖，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC與BD相交于點O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB=2，CF=3．
（1）求證：BD⊥平面ACFE；
（2）當直線FO與平面BED所成角的大小為45°時，求AE的長度．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．…（1分）

∵AE⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

∴BD⊥AE，

又AC平面ACFE，AE平面ACFE，AC∩AE=A，

∴BD⊥平面ACFE

（2）解：以O(shè)為原點，以O(shè)A，OB所在直線分別為x軸，y軸，以過點O且平行于CF的直線為z軸建立空間直角坐標系．

則 ．

設(shè)AE=a，則E（1，0，a），

∴ ，

設(shè)平面BDE的法向量為 ，則 ）

即 令z=1，得 ，

∴ ，

∵直線FO與平面BED所成角的大小為45°，∴ ，

解得a=2或 （舍），∴|AE|=2．

【解析】（1）由AE⊥平面ABCD得出AE⊥BD，由菱形性質(zhì)得BD⊥AC，故而BD⊥平面ACFE；（2）以O(shè)為原點建立坐標系，設(shè)CF=a，求出 和平面BDE的法向量，利用直線FO與平面BED所成角的大小為45°，可得 ，即可求出a的值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．