【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)程為(為參數(shù)),設(shè)直線與的交點(diǎn)為,當(dāng)變化時(shí)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求出曲線的普通方程;
(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)為曲線的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)到直線的距離的最小值.
【答案】(1)的普通方程為;(2) 的最小值為.
【解析】【試題分析】(1)利用加減消元法,消去參數(shù),可將轉(zhuǎn)化為普通方程.將兩方程聯(lián)立,消去可得的普通方程.(2)先將直線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程,寫出的參數(shù)方程,利用點(diǎn)到直線的距離公式和三角函數(shù)輔助角公式,可求得距離的最小值.
【試題解析】
(1)將, 的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程
,①
,②
①×②消可得: ,
因?yàn)?/span>,所以,所以的普通方程為.
(2)直線的直角坐標(biāo)方程為: .
由(1)知曲線與直線無公共點(diǎn),
由于的參數(shù)方程為(為參數(shù), , ),
所以曲線上的點(diǎn)到直線的距離為
,
所以當(dāng)時(shí), 的最小值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線過橢圓的右焦點(diǎn),拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn),且交橢圓于兩點(diǎn),點(diǎn)在直線上的射影依次為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線交軸于點(diǎn),且,當(dāng)變化時(shí),證明: 為定值;
(3)當(dāng)變化時(shí),直線與是否相交于定點(diǎn)?若是,請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo),并給予證明;否則,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(單位:分)的頻率分布直方圖如圖.
(1)求頻率分布直方圖中a的值;
(2)估計(jì)總體中成績落在[50,60)中的學(xué)生人數(shù);
(3)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù),平均數(shù);
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)盒子中裝有四張卡片,每張卡片上寫有一個(gè)數(shù)字,數(shù)字分別是,現(xiàn)從盒子中隨機(jī)抽取卡片,每張卡片被抽到的概率相等.
(1)若一次抽取三張卡片,求抽到的三張卡片上的數(shù)字之和大于的概率;
(2)若第一次抽一張卡片,放回后攪勻再抽取一張卡片,求兩次抽取中至少有一次抽到寫有數(shù)字的卡片的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓的離心率為, 軸被曲線截得的線段長等于的長半軸長。
(1)求, 的方程;
(2)設(shè)與軸的交點(diǎn)為M,過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與相交于點(diǎn)A,B,直線MA,MB分別與相交與D,E.
①證明: ;
②記△MAB,△MDE的面積分別是.問:是否存在直線,使得=?請(qǐng)說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】唐三彩,中國古代陶瓷燒制工藝的珍品,它吸取了中國國畫、雕塑等工藝美術(shù)的特點(diǎn),在中國文化中占有重要的歷史地位,在中國的陶瓷史上留下了濃墨重彩的一筆,唐三彩的生產(chǎn)至今已有1300多年的歷史,對(duì)唐三彩的復(fù)制和仿制工藝,至今也有百余年的歷史。某陶瓷廠在生產(chǎn)過程中,對(duì)仿制的100件工藝品測得其重量(單位; )數(shù)據(jù),將數(shù)據(jù)分組如下表:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
4 | ||
26 | ||
28 | ||
10 | ||
2 | ||
合計(jì) | 100 |
(1)在答題卡上完成頻率分布表;
(2)以表中的頻率作為概率,估計(jì)重量落在中的概率及重量小于2.45的概率是多少?
(3)統(tǒng)計(jì)方法中,同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值(例如區(qū)間的中點(diǎn)值是作為代表.據(jù)此,估計(jì)這100個(gè)數(shù)據(jù)的平均值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足.設(shè)線段的中點(diǎn)在上的投影為,則的最大值是 ( )
A. B. C. D.
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【題目】已知圓,圓內(nèi)一定點(diǎn),動(dòng)圓過點(diǎn)且與圓內(nèi)切.記動(dòng)圓圓心的軌跡為.
(Ⅰ)求軌跡方程;
(II)過點(diǎn)的動(dòng)直線l交軌跡于M,N兩點(diǎn),試問:在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q,使得以線段MN為直徑的圓恒過點(diǎn)Q?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】【2018屆河南省南陽市第一中學(xué)高三上學(xué)期第八次考試】2017年5月14日至15日,“一帶一路”國際合作高峰論壇在中國首都北京舉行,會(huì)議期間,達(dá)成了多項(xiàng)國際合作協(xié)議.假設(shè)甲、乙兩種品牌的同類產(chǎn)品出口某國家的市場銷售量相等,該國質(zhì)量檢驗(yàn)部門為了解他們的使用壽命,現(xiàn)從這兩種品牌的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取300個(gè)進(jìn)行測試,結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下圖所示.
(1)估計(jì)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時(shí)的概率;
(2)在抽取的這兩種品牌產(chǎn)品中,抽取壽命超過300小時(shí)的產(chǎn)品3個(gè),設(shè)隨機(jī)變量表示抽取的產(chǎn)品是甲品牌的產(chǎn)品個(gè)數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望值.
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