【題目】如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形, , , , , 是等邊三角形,且側(cè)面底面, 分別是, 的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求平面與平面所成的二面角(銳角)的余弦值.
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ) .
【解析】試題分析:
(Ⅰ)連接,交于點(diǎn),連接, ,得到四邊形是平行四邊形,∴為的中點(diǎn).由為的中點(diǎn),可得,從而證明平面.
(Ⅱ)以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以, , 所在直線為軸, 軸, 軸建立如圖所示坐標(biāo)系,
利用向量法能求出平面與平面所成的二面角(銳角)的余弦值.
試題解析:(Ⅰ)連接,交于點(diǎn),連接, ,
∵且, 為的中點(diǎn),∴, ,
∴四邊形是平行四邊形,∴為的中點(diǎn).
∵為的中點(diǎn),∴,
∵平面, 平面,∴平面.
(Ⅱ)連接,∵為的邊的中點(diǎn),∴,
∵平面底面,∴底面,
∴, .
∵為的中點(diǎn),∴,∴四邊形為平行四邊形,∴,
∵,∴,
以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以, , 所在直線為軸, 軸, 軸建立如圖所示坐標(biāo)系,
設(shè),則, , ,
∴, , , , ,
∴, , , ,
設(shè)平面的法向量為,
則.即,
令,得,
設(shè)平面的法向量為,
則.即,
令,得,
設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為(銳角),
則.
∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品被檢測出其中一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)存在問題.該企業(yè)為了檢查生產(chǎn)該產(chǎn)品的甲,乙兩條流水線的生產(chǎn)情況,隨機(jī)地從這兩條流水線上生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取50件產(chǎn)品作為樣本,測出它們的這一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值.若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi),則為合格品,否則為不合格品.表1是甲流水線樣本的頻數(shù)分布表,圖1是乙流水線樣本的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)圖,1估計(jì)乙流水線生產(chǎn)產(chǎn)品該質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù);
(2)若將頻率視為概率,某個月內(nèi)甲,乙兩條流水線均生產(chǎn)了5000件產(chǎn)品,則甲,乙兩條流水線分別生產(chǎn)出不合格品約多少件?
(3)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并回答是否有85%的把握認(rèn)為“該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲,乙兩條流水線的選擇有關(guān)”?
附: (其中為樣本容量)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)平面內(nèi),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程是,直線的參數(shù)方程是(為參數(shù)).
(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù), (a>0且a≠1)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù).
(Ⅰ) 求的值
(Ⅱ)若,試求不等式的解集;
(Ⅲ)若,且,求在上的最小值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場有獎銷售中,購滿100元商品得1張獎券,多購多得.1 000張獎券為一個開獎單位,設(shè)特等獎1個,一等獎10個,二等獎50個.設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A,B,C,求:
(1)P(A),P(B),P(C).
(2)1張獎券的中獎概率.
(3)1張獎券不中特等獎,且不中一等獎的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】出一份道題的數(shù)學(xué)試卷,試卷內(nèi)的道題是這樣產(chǎn)生的:從含有道選擇題的題庫中隨機(jī)抽道;從道填空題的題庫中隨機(jī)抽道;從道解答題的題庫中隨機(jī)抽道.使用合適的方法確定這套試卷的序號(選擇題編號為,填空題編號為,解答題編號為).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓(),圓(),若圓的一條切線與橢圓相交于兩點(diǎn).
(1)當(dāng), 時,若點(diǎn)都在坐標(biāo)軸的正半軸上,求橢圓的方程;
(2)若以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),探究是否滿足,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2-3x+lnx.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值;
(Ⅱ)若對于任意的x1,x2∈(1,+∞),x1≠x2,都有恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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