【題目】如圖，長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)E是線段AB中點(diǎn)．

證明：；

求二面角的大小的余弦值；

求A點(diǎn)到平面的距離．

【答案】（1）詳見(jiàn)解析 （2）（3）

【解析】

試題（1）面 ，，，又，[來(lái)所以，面所以，（2）是所求二面角的平面角，，，二面角的大小的余弦值為（3）由（１）（２）知，平面的法向量為，

試題解析：（1）證明：面，面

所以， １分

中，，

同理：，又，

3分

所以，面4分

又面

所以，5分

（2）解法一 由（1）證可知是所求二面角的平面角 ６分

在中，，；

故，8分

即二面角的大小的余弦值為9分

解法二：利用向量法

設(shè)平面的法向量為，

由（1）得，

且

解得：,即； 7分

又平面的法向量為，

所以，二面角的余弦值為． 9分

（3）解法一：，，，

10分

又，，，

（11分）

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，

解得，即點(diǎn)到平面的距離為． （14分）

解法二：利用向量法

由（1）（2）知，平面的法向量為

故，點(diǎn)到平面的距離為

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【題目】為激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，老師上課時(shí)在黑板上寫(xiě)出三個(gè)集合： ；然后叫甲、乙、丙三位同學(xué)到講臺(tái)上，并將“”中的數(shù)告訴了他們，要求他們各用一句話來(lái)描述，以便同學(xué)們能確定該數(shù)，以下是甲、乙、丙三位同學(xué)的描述：

甲：此數(shù)為小于6的正整數(shù)；乙：A是B成立的充分不必要條件；

丙：A是C成立的必要不充分條件

若老師評(píng)說(shuō)這三位同學(xué)都說(shuō)得對(duì)，則“”中的數(shù)為 。

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【題目】求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(1)過(guò)點(diǎn).

(2)焦點(diǎn)在直線上.

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【題目】如圖，在矩形中，點(diǎn)在線段上， ， ，沿直線將翻折成，使點(diǎn)在平面上的射影落在直線上.

（Ⅰ）求證：直線平面；

（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.

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【題目】用,,表示空間中三條不同的直線,表示平面, 給出下列命題:

① 若,, 則∥; ② 若∥,∥, 則∥;

③ 若∥,∥, 則∥; ④ 若 , , 則∥.

其中真命題的序號(hào)是（ ）

A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④

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【題目】已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，以為圓心且與拋物線準(zhǔn)線相切的圓恰好過(guò)原點(diǎn).點(diǎn)是與軸的交點(diǎn)， 兩點(diǎn)在拋物線上且直線過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)及的直線交拋物線于點(diǎn).

（1）求拋物線的方程；

（2）求證：直線過(guò)一定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)坐標(biāo).

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【題目】朱載堉（1536—1611），明太祖九世孫，音樂(lè)家、數(shù)學(xué)家、天文歷算家，在他多達(dá)百萬(wàn)字的著述中以《樂(lè)律全書(shū)》最為著名，在西方人眼中他是大百科全書(shū)式的學(xué)者王子。他對(duì)文藝的最大貢獻(xiàn)是他創(chuàng)建了“十二平均律”，此理論被廣泛應(yīng)用在世界各國(guó)的鍵盤(pán)樂(lè)器上，包括鋼琴，故朱載堉被譽(yù)為“鋼琴理論的鼻祖”。“十二平均律”是指一個(gè)八度有13個(gè)音，相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比相等，且最后一個(gè)音頻率是最初那個(gè)音頻率的2倍，設(shè)第二個(gè)音的頻率為，第八個(gè)音的頻率為，則等于

A. B. C. D.

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【題目】某超市在元旦期間開(kāi)展優(yōu)惠酬賓活動(dòng)，凡購(gòu)物滿100元可抽獎(jiǎng)一次，滿200元可抽獎(jiǎng)兩次…依此類(lèi)推．抽獎(jiǎng)箱中有7個(gè)白球和3個(gè)紅球，其中3個(gè)紅球上分別標(biāo)有10元，10元，20元字樣．每次抽獎(jiǎng)要從抽獎(jiǎng)箱中有放回地任摸一個(gè)球，若摸到紅球，根據(jù)球上標(biāo)注金額獎(jiǎng)勵(lì)現(xiàn)金；若摸到白球，沒(méi)有任何獎(jiǎng)勵(lì)．

（Ⅰ）一次抽獎(jiǎng)中，已知摸中了紅球，求獲得20元獎(jiǎng)勵(lì)的概率；

（Ⅱ）小明有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，用表示他兩次抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金總額，寫(xiě)出的分布列與數(shù)學(xué)期望．

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【題目】我校為了讓高一學(xué)生更有效率地利用周六的時(shí)間,在高一新生第一次摸底考試后采取周六到校自主學(xué)習(xí),同時(shí)由班主任老師值班,家長(zhǎng)輪流值班.一個(gè)月后進(jìn)行了第一次月考,高一數(shù)學(xué)教研組通過(guò)系統(tǒng)抽樣抽取了名學(xué)生,并統(tǒng)計(jì)了他們這兩次數(shù)學(xué)考試的優(yōu)良人數(shù)和非優(yōu)良人數(shù),其中部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:

(1)請(qǐng)畫(huà)出這次調(diào)查得到的列聯(lián)表;并判定能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為周六到校自習(xí)對(duì)提高學(xué)生成績(jī)有效?

(2)從這組學(xué)生摸底考試中數(shù)學(xué)優(yōu)良成績(jī)中和第一次月考的數(shù)學(xué)非優(yōu)良成績(jī)中,按分層抽樣隨機(jī)抽取個(gè)成績(jī),再?gòu)倪@個(gè)成績(jī)中隨機(jī)抽取個(gè),求這個(gè)成績(jī)來(lái)自同一次考試的概率.

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(參考公式: ,其中

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