某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每日的成本C(單位:元)與日產(chǎn)里x(單位:噸)滿足函數(shù)關(guān)系式C=10000+20x,每日的銷(xiāo)售額R(單位:元)與日產(chǎn)量x滿足函數(shù)關(guān)系式
R=
-
1
30
x3+ax2 +290x,0<x<120
20400,x>120

已知每日的利潤(rùn)y=R-C,且當(dāng)x=30時(shí)y=-100.
(I)求a的值;
(II)當(dāng)日產(chǎn)量為多少?lài)崟r(shí),毎日的利潤(rùn)可以達(dá)到最大,并求出最大值.
分析:(I)根據(jù)每日的利潤(rùn)y=R-C建立函數(shù)關(guān)系式,然后根據(jù)當(dāng)x=30時(shí)y=-100可求出a的值;
(II)當(dāng)0<x<120時(shí),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而求出函數(shù)的最大值,當(dāng)x≥120時(shí),根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性求出最大值,比較可求出所求.
解答:解:(I)由題意可得:y=
-
1
30
x3+ax2 +270x-10000,0<x<120
10400-20x,x≥120

∵當(dāng)x=30時(shí)y=-100
∴-100=-
1
30
×303+a×302+270×30-10000
解得 a=3
(II)當(dāng)0<x<120時(shí),y=-
1
30
×x3+3x2+270x-10000
y′=-
1
10
x2+6x+270
由y′=-
1
10
x2+6x+270=0可得:x=90或x=-30(舍)
所以當(dāng)x∈(0,90)時(shí),原函數(shù)是增函數(shù),當(dāng)x∈(90,120)時(shí),原函數(shù)是減函數(shù)
所以當(dāng)x=90時(shí),y取最大值14300
當(dāng)x≥120時(shí),y=10400-20x≤8000
所以當(dāng)日產(chǎn)量為90噸時(shí),每日的利潤(rùn)可以達(dá)到最大值14300元.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了分段函數(shù)的最值,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,同時(shí)考查了計(jì)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,已知該產(chǎn)品的產(chǎn)量x(噸)與每噸產(chǎn)品的價(jià)格P(元/噸)之間的關(guān)系為P=24200-
15
x2
,且生產(chǎn)x噸的成本為R=50000+200x元.問(wèn)該廠每月生產(chǎn)多少?lài)嵁a(chǎn)品才能使利潤(rùn)達(dá)到最大?最大利潤(rùn)是多少?(利潤(rùn)=收入-成本)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2000萬(wàn)元,并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品,成本增加10萬(wàn)元,又知總收入k是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù),k(Q)=40Q-
120
Q2,則總利潤(rùn)L(Q)的最大值是
2500萬(wàn)元
2500萬(wàn)元

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量x(噸)與每噸產(chǎn)品的價(jià)格P(元/噸)之間的關(guān)系式為P=24200-
15
x2
,且生產(chǎn)x噸的成本為R=50000+200x(元).
(1)求該工廠月利潤(rùn)L(元)關(guān)于月生產(chǎn)量x(噸)的函數(shù)關(guān)系式;(月利潤(rùn)=月收入-月成本)
(2)求該工廠每月生產(chǎn)多少?lài)嵁a(chǎn)品才能使月利潤(rùn)達(dá)到最大?并求出最大利潤(rùn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,已知該產(chǎn)品每噸的價(jià)格P(元)與產(chǎn)量x(噸)之間的關(guān)系式為 P=24200-
15
x2
,且生產(chǎn)x噸的成本為(50000+200x)元,則該廠利潤(rùn)最大時(shí),生產(chǎn)的產(chǎn)品的噸數(shù)為
200
200

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)有如表幾組樣本數(shù)據(jù):
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
據(jù)相關(guān)性檢驗(yàn),這組樣本數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系,通過(guò)線性回歸分析,求得其回歸直線的斜率為0.7,則這組樣本數(shù)據(jù)的回歸直線方程是( 。

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