Question

已知函數(shù)f(x)=a-

2

x

．
（Ⅰ）討論f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判斷f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性并用定義證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，若f（x）=f（-x），則

4

x

=0，無解，故f（x）不是偶函數(shù)；若f（-x）=-f（x），則a=0，顯然a=0時，f（x）為奇函數(shù)，由此得出結(jié)論．
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，設(shè) x₁＜x₂＜0，證明f（x₂）-f（x₁）＞0，從而得出結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得

2

x

≠0，解得 x≠0，故函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠0}關(guān)于原點對稱．
由f(x)=a-

2

x

，可得f(-x)=a+

2

x

，
若f（x）=f（-x），則

4

x

=0，無解，故f（x）不是偶函數(shù)．
若f（-x）=-f（x），則a=0，顯然a=0時，f（x）為奇函數(shù)．
綜上，當(dāng)a=0時，f（x）為奇函數(shù)；當(dāng)a≠0時，f（x）不具備奇偶性
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增；
證明：設(shè) x₁＜x₂＜0，則f(x2)-f(x1)=(a-

2

x2

)-(a-

2

x1

)=

2

x1

-

2

x2

=

2(x2-x1)

x1x2

，
由x₁＜x₂＜0，可得 x₁x₂＞0，x₂ -x₁＞0，
從而

2(x2-x1)

x1x2

＞0，故f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷、證明，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．