【題目】如圖,某市準(zhǔn)備在道路EF的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)比賽道,賽道的前一部分為曲線段FBC,該曲線段是函數(shù) (A>0,ω>0),x∈[﹣4,0]時(shí)的圖象,且圖象的最高點(diǎn)為B(﹣1,2).賽道的中間部分為長(zhǎng) 千米的直線跑道CD,且CD∥EF.賽道的后一部分是以O(shè)為圓心的一段圓弧 .
(1)求ω的值和∠DOE的大;
(2)若要在圓弧賽道所對(duì)應(yīng)的扇形ODE區(qū)域內(nèi)建一個(gè)“矩形草坪”,矩形的一邊在道路EF上,一個(gè)頂點(diǎn)在半徑OD上,另外一個(gè)頂點(diǎn)P在圓弧 上,且∠POE=θ,求當(dāng)“矩形草坪”的面積取最大值時(shí)θ的值.
【答案】
(1)解:由條件,得A=2, .
∵ ,∴ .
∴曲線段FBC的解析式為 .
當(dāng)x=0時(shí), .又CD= ,∴ .
(2)解:由(1),可知 .
又易知當(dāng)“矩形草坪”的面積最大時(shí),點(diǎn)P在弧DE上,故 .
設(shè)∠POE=θ, ,“矩形草坪”的面積為
= .
∵ ,故 取得最大值
【解析】(1)依題意,得A=2, .根據(jù)周期公式T= 可得ω,把B的坐標(biāo)代入結(jié)合已知可得φ,從而可求∠DOE的大小;(2)由(1)可知OD=OP,矩形草坪的面積S關(guān)于θ的函數(shù),有 ,結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求S取得最大值.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解三角函數(shù)的最值(函數(shù),當(dāng)時(shí),取得最小值為;當(dāng)時(shí),取得最大值為,則,,).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(, ).
(1)若的圖象在點(diǎn)處的切線方程為,求在區(qū)間上的最大值和最小值;
(2)若在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)是R上的奇函數(shù),且當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí), . (Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性定義證明f(x)在定義域R上是增函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,圓: .
(1)若圓與軸相切,求圓的方程;
(2)求圓心的軌跡方程;
(3)已知,圓與軸相交于兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)).過點(diǎn)任作一條直線與圓: 相交于兩點(diǎn).問:是否存在實(shí)數(shù),使得?若存在,求出實(shí)數(shù)的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)等比數(shù)列的公比為,前項(xiàng)和.
(1)求的取值范圍;
(2)設(shè),記的前項(xiàng)和為,試比較與的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)求當(dāng)時(shí), 恒成立的的取值范圍,并證明
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= 為奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)m的值;
(2)用定義證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上為單調(diào)減函數(shù);
(3)若關(guān)于x的不等式f(x)+a<0對(duì)區(qū)間[1,3]上的任意實(shí)數(shù)x都成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某個(gè)年級(jí)有男生560人,女生420人,用分層抽樣的方法從該年級(jí)全體學(xué)生中抽取一個(gè)容量為280的樣本,則此樣本中男生人數(shù)為 .
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