已知函數(shù)f(x)=log
1
3
x
,
(1)當(dāng)x∈[
1
3
,3]
時(shí),求f(x)的反函數(shù)g(x);
(2)求關(guān)于x的函數(shù)y=[g(x)]2-2ag(x)+3(a≤3)當(dāng)x∈[-1.1]時(shí)的最小值h(a);
(3)我們把同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)稱為“和諧函數(shù)”:
①函數(shù)在整個(gè)定義域上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù);
②在函數(shù)的定義域內(nèi)存在區(qū)間[p,q](p<q)使得函數(shù)在區(qū)間[p,q]上的值域?yàn)閇p2,q2].
(Ⅰ)判斷(2)中h(x)是否為“和諧函數(shù)”?若是,求出p,q的值或關(guān)系式;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(Ⅱ)若關(guān)于x的函數(shù)y=
x2-1
+t(x≥1)是“和諧函數(shù)”,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
分析:(1)將f(x)看成關(guān)于x的方程,求出x,將x,y互換得到g(x).
(2)通過(guò)換元,將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù),求出對(duì)稱軸,通過(guò)對(duì)對(duì)稱軸與區(qū)間位置關(guān)系的討論,求出最小值g(a).
(3)據(jù)和諧函數(shù)的定義,列出方程組,求出p,q滿足的條件.
解答:解:(1)由y=log
1
3
x
x=(
1
3
)
y

f-1(x)=(
1
3
)
x
(-1≤x≤1)

 (2)令t=f-1(x),x∈[-1,1].由(1)知t∈[
1
3
,3]

∴函數(shù)y=[f-1(x)]2-2a[f-1(x)]+3=t2-2at+3   (
1
3
≤t≤3)

對(duì)稱軸x=a(a≤3)
①a≤
1
3
時(shí),ymin=(
1
3
)
2
-
2a
3
+3=
28
9
-
2a
3

1
3
<a≤3
,ymin=a2-2a2+3=3-a2
g(a)=
28
9
2a
3
(a≤
1
3
)
3-a2(
1
3
<a≤3)

   (3)對(duì)(2)中g(a)=
28
9
-
2a
3
(a≤
1
3
)
3-a2(
1
3
<a≤3)

易知g(x)在(-∞,3]上單減.
(3)(I)若g(x)為“和諧函數(shù)”,則g(x)在(-∞,3]上存在區(qū)間[p,q](p<q),使得g(x)在區(qū)間[p,q]
上的值域?yàn)閇p2,q2].
①若p<q≤
1
3
,g(x)遞減,
 
28
9
-
2p
3
q2
28
9
-
2q
3
=p2
得p+q=
2
3
,
這與p<q≤
1
3
矛盾.
1
3
≤p<q≤3
時(shí)
3-p2=q2
3-q2=p2
恒成立

此時(shí)p、q、滿足
p2+q2=3
1
3
≤p<q≤3
,這樣的p,q存在.
p<
1
3
1
3
<q≤3
時(shí),解得p=
1
3
矛盾                     
∴(2)中g(shù)(x)是“和諧函數(shù)”,p、q滿足
p2+q2=3
1
3
≤p<q≤3

(II)∵y=
x2-1
+t
在[1,+∞)遞增,有和諧函數(shù)的定義知,該函數(shù)在定義域[1,+∞)內(nèi),存在區(qū)間[p,q](p<q),使得該函數(shù)在區(qū)間[p,q]上的值域?yàn)閇p2,q2]
點(diǎn)評(píng):本題考查新定義題,關(guān)鍵是理解透題中的新定義,此題型是近幾年高考常考題型.求分段函數(shù)的函數(shù)值關(guān)鍵是判斷出自變量所屬的范圍.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函數(shù)f(x)在P(0,f(0))的切線方程為y=5x+1,求實(shí)數(shù)a,b的值:
(2)當(dāng)a<3時(shí),令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx
的圖象在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線方程為l:y=x+b
(1)求出函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式和切線l的方程;
(2)當(dāng)x∈[
1
e
,e]
時(shí)(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a為常數(shù)),直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的圖象都相切,且l與函數(shù)f(x)的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.
(1)求直線l的方程及a的值;
(2)當(dāng)k>0時(shí),試討論方程f(1+x2)-g(x)=k的解的個(gè)數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax

(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,若過(guò)兩點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線l與x軸的交點(diǎn)在曲線y=f(x)上,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b為實(shí)數(shù),x∈R,a∈R.
(1)當(dāng)1<a<2時(shí),若f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值、最大值分別為-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的條件下,求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程;
(3)試討論函數(shù)F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

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