【題目】已知函數(shù),且存在,使得,設(shè),,,.
(Ⅰ)證明單調(diào)遞增;
(Ⅱ)求證:;
(Ⅲ)記,其前項(xiàng)和為,求證:.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)證明見解析;(Ⅲ)證明見解析
【解析】
(Ⅰ)首先求出,然后通過證明恒成立即可;
(Ⅱ)利用數(shù)學(xué)歸納法,即首先驗(yàn)證時(shí)不等式是否成立,然后假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立,再通過驗(yàn)證時(shí)不等式是否成立使問題得證;
(Ⅲ)利用(Ⅱ)的結(jié)論,先放縮再結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可證明.
(Ⅰ)由函數(shù),則,
所以是上的單調(diào)遞增函數(shù).
(Ⅱ)因?yàn)?/span>,即.
又因?yàn)?/span>是單調(diào)遞增函數(shù),可得,即.
又由,,
綜上可得.
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:
①當(dāng)時(shí),上面已證明成立.
②假設(shè)當(dāng)時(shí),有,
則當(dāng)時(shí),由是單調(diào)遞增函數(shù),可得,
所以,
由①②知對(duì)一切都有.
(Ⅲ)因?yàn)?/span>.
由(Ⅱ)知,,則,,
所以,
因?yàn)?/span>,所以,
所以.
綜上可得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在中,分別是邊上的中點(diǎn),將沿折起到的位置,使如圖2.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】阿波羅尼斯(約公元前年)證明過這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓,后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)、間的距離為,動(dòng)點(diǎn)滿足,則的最小值為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(, =2.718………),
(I) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(II)當(dāng)時(shí),不等式對(duì)任意恒成立,
求實(shí)數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某村共有100戶農(nóng)民,且都從事蔬菜種植,平均每戶的年收入為2萬元.為了調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu),該鎮(zhèn)政府決定動(dòng)員部分農(nóng)民從事蔬菜加工.據(jù)估計(jì),若能動(dòng)員戶農(nóng)民從事蔬菜加工,則剩下的繼續(xù)從事蔬菜種植的農(nóng)民平均每戶的年收入比上一年提高,而從事蔬菜加工的農(nóng)民平均每戶的年收入為萬元.
(1)在動(dòng)員戶農(nóng)民從事蔬菜加工后,要使從事蔬菜種植的農(nóng)民的總年收入不低于動(dòng)員前100戶農(nóng)民的總年收入,求的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,要使這100戶農(nóng)民中從事蔬菜加工的農(nóng)民的總年收入始終不高于從事蔬菜種植的農(nóng)民的總年收入,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱的底面為等邊三角形,、分別為、的中點(diǎn),點(diǎn)在棱上,且.
(1)證明:平面平面;
(2)若,,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】年初新冠病毒疫情爆發(fā),全國(guó)范圍開展了“停課不停學(xué)”的線上教學(xué)活動(dòng).哈六中數(shù)學(xué)組積極研討網(wǎng)上教學(xué)策略:先采取甲、乙兩套方案教學(xué),并對(duì)分別采取兩套方案教學(xué)的班級(jí)的次線上測(cè)試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)如圖所示:
(1)請(qǐng)?zhí)顚懴卤恚ㄒ髮懗鲇?jì)算過程)
平均數(shù) | 方差 | |
甲 | ||
乙 |
(2)從下列三個(gè)不同的角度對(duì)這次方案選擇的結(jié)果進(jìn)行
①從平均數(shù)和方差相結(jié)合看(分析哪種方案的成績(jī)更好);
②從折線圖上兩種方案的走勢(shì)看(分析哪種方案更有潛力).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(Ⅰ)求曲線的參數(shù)方程與直線的普通方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)和點(diǎn)為直線上的點(diǎn),且.求面積的取值范圍.
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