Question

（2012•道里區(qū)二模）為了學生的全面發(fā)展，某中學在高一學年是推行“合理作業(yè)”（合理作業(yè)是指：放學后學生每天完成作業(yè)的時間不超過兩小時）活動．高一學年共有學生2000人，其中男生1200人，女生800人，為了調(diào)查2012年3月（按30天計算）學生“合理作業(yè)”的天數(shù)情況，通過分層抽樣的方法抽取了40人作為樣本，統(tǒng)計他們在該月30天內(nèi)“合理作業(yè)”的天數(shù)，并將所得的數(shù)據(jù)分成以下六組：[0，5]，（5，10]，（10，15]，…，（25，30]，由此畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．
（1）求抽取的40人中男生、女生的人數(shù)；
（2）在抽取的40人中任取3人，設(shè)ξ為取出的三人中“合理作業(yè)”天數(shù)超過25天的人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 抽取的40人中男生人數(shù)=

40

2000

×1200，抽取的40人中女生人數(shù)=

40

2000

×800，由此能求出結(jié)果．
（Ⅱ）由抽取的40人中“合理作業(yè)”天數(shù)超過25天的人數(shù)=0.01×5×40=2人，知ξ的可能取值為0，1，2，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）．由此能求出ξ的分布列及數(shù)學期望Eξ．

解答：解：（Ⅰ） 抽取的40人中男生人數(shù)=

40

2000

×1200=24人；
抽取的40人中女生人數(shù)=

40

2000

×800=16人．
∴抽取的40人中男生人數(shù)為24人，女生人數(shù)為16人．…（4分）
（Ⅱ）∵抽取的40人中“合理作業(yè)”天數(shù)超過25天的人數(shù)=0.01×5×40=2人，
ξ為取出的三人中“合理作業(yè)”天數(shù)超過25天的人數(shù)，
∴ξ的可能取值為0，1，2，
∴P（ξ=0）=

C 3 38

C 3 40

=

4218

4940

，
P（ξ=1）=

C 2 38 C 1 2

C 3 40

=

703

4940

，
P（ξ=2）=

C 1 38 C 2 2

C 3 40

=

19

4940

．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	4218 4940	703 4940	19 4940

…（8分）
E（ξ）=0×

4218

4940

+1×

703

4940

+2×

19

4940

=0.15．…（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，解題時要認真審題，仔細解答，注意頻率分布直方圖的合理運用．