Question

【題目】口袋中有大小、形狀、質(zhì)地相同的兩個白球和三個黑球．現(xiàn)有一抽獎游戲規(guī)則如下：抽獎者每次有放回的從口袋中隨機取出一個球，最多取球2n＋1(n)次．若取出白球的累計次數(shù)達到n＋1時，則終止取球且獲獎，其它情況均不獲獎．記獲獎概率為．

（1）求；

（2）證明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）分別求出每次取出的球是白球和黑球的概率，由題意知最多抽3次，獲獎即連續(xù)兩次為白球或者前兩次中有一次是白球第三次也是白球，求出其概率和即可；

（2）依據(jù)取出白球次數(shù)是，可分為以下情況：前n次取出n次白球，第n+1次取出的是白球，前n+1次取出n次白球，第n+2次取出的是白球，，前2n次取出n次白球，第2n+1次取出的是白球，分別求出對應的概率，相加可得，通過作差結(jié)合組合數(shù)性質(zhì)即可得結(jié)果.

（1）根據(jù)題意，每次取出的球是白球的概率為，取出的球是黑球的概率為，

所以；

（2）證明：累計取出白球次數(shù)是的情況有：

前n次取出n次白球，第n+1次取出的是白球，概率為

前n+1次取出n次白球，第n+2次取出的是白球，概率為

前2n﹣1次取出n次白球，第2n次取出的是白球，概率為

前2n次取出n次白球，第2n+1次取出的是白球，概率為

則

因此

則

因為，

所以，因此．