【題目】如圖，長方體的底面是正方形，點(diǎn)在棱上，.

（1）證明：平面；

（2）若，求二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）根據(jù)長方體性質(zhì)可知平面，從而，由題意，即可由線面垂直的判定定理證明平面；

（2）由題意，設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系，即可寫出各個點(diǎn)的坐標(biāo)，求得平面和平面的法向量，即可由兩個平面的法向量求得二面角夾角的余弦值，再由同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求得二面角的正弦值.

（1）由已知得，平面，平面，

故.

又，且，

所以平面.

（2）由（1）知.由題設(shè)知，所以，

故，. 設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

則，，，，，，.

設(shè)平面的法向量為，則即.

所以可取.

設(shè)平面的法向量為，則即

所以可取.

于是.

由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得二面角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)對某市工薪階層關(guān)于“樓市限購令”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查,隨機(jī)抽調(diào)了50人,他們月收入的頻數(shù)分布及對“樓市限購令”贊成人數(shù)如表:

月收入(單位百元)

[15,25)

[25,35)

[35,45)

[45,55)

[55,65)

[65,75)

頻數(shù)

5

10

15

10

5

5

贊成人數(shù)

4

8

12

5

2

1

(Ⅰ)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面2×2列聯(lián)表并問是否有99%的把握認(rèn)為“月收入以5500為分界點(diǎn)”對“樓市限購令”的態(tài)度有差異;

月收入低于55百元的人數(shù)

月收入不低于55百元的人數(shù)

合計

贊成

不贊成

合計

(Ⅱ)若采用分層抽樣在月收入在[15,25),[25,35)的被調(diào)查人中共隨機(jī)抽取6人進(jìn)行追蹤調(diào)查,并給予其中3人“紅包”獎勵,求收到“紅包”獎勵的3人中至少有1人收入在[15,25)的概率.

參考公式:K2,其中n=a+b+c+d.

參考數(shù)據(jù):

P(K2≥k)

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了解某地區(qū)的“微信健步走”活動情況,現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取老、中、青三個年齡段人員進(jìn)行問卷調(diào)查.已知抽取的樣本同時滿足以下三個條件:

（i）老年人的人數(shù)多于中年人的人數(shù);

（ii）中年人的人數(shù)多于青年人的人數(shù);

（iii）青年人的人數(shù)的兩倍多于老年人的人數(shù).

①若青年人的人數(shù)為4,則中年人的人數(shù)的最大值為___________.

②抽取的總?cè)藬?shù)的最小值為__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求不等式的解集；

（2）若的圖像與軸圍成直角三角形,求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)在橢圓上，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)

（1）求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程

（2）設(shè)、兩點(diǎn)在（1）中軌跡上，點(diǎn)，兩直線與的斜率之積為，且（1）中軌跡上存在點(diǎn)滿足，當(dāng)面積最小時，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，長方體的底面是正方形，點(diǎn)在棱上，.

（1）證明：平面；

（2）若，求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)，若函數(shù)的兩個極值點(diǎn)恰為函數(shù)的兩個零點(diǎn)，且的范圍是，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝mx-lnx-1（m為常數(shù)）．

（1）若函數(shù)f(x)恰有1個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）若不等式mx-ex≤f(x)+a對正數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小整數(shù)值．

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