Question

理科（本小題14分）已知函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)取得極大值.
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）已知結(jié)論：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，且，則存在，使得.試用這個結(jié)論證明：若，函數(shù)，則對任意，都有；（Ⅲ）已知正數(shù)滿足求證：當(dāng)，時，對任意大于，且互不相等的實(shí)數(shù),都有

Answer 1

（Ⅰ）.
（Ⅱ）
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，；（Ⅲ）用數(shù)學(xué)歸納法證明.

試題分析：（Ⅰ）. 由，得，此時.
當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
函數(shù)在處取得極大值，故.   3分
（Ⅱ）令，  4分
則.函數(shù)在上可導(dǎo)，存在，使得.
又
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，；
故對任意，都有.   8分
（Ⅲ）用數(shù)學(xué)歸納法證明.
①當(dāng)時，，且，，
，由（Ⅱ）得，即
，
當(dāng)時，結(jié)論成立.   9分
②假設(shè)當(dāng)時結(jié)論成立，即當(dāng)時，
. 當(dāng)時，設(shè)正數(shù)滿足令，
 
則，且.


13分
當(dāng)時，結(jié)論也成立.
綜上由①②，對任意，，結(jié)論恒成立.   14分
點(diǎn)評：難題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中的基本問題。本題（III）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，難度較大。涉及對數(shù)函數(shù)，要特別注意函數(shù)的定義域。