Question

定義，設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件，z=max{4x+y，3x-y}，則z的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：先找出可行域，即四邊形ABCD上及其內(nèi)部，（4x+y）與（3x-y）相等的分界線x+2y=0，令z=4x+y時(shí)，點(diǎn)（x，y）在四邊形MNCD上及其內(nèi)部，求得z范圍；令z=3x-y，點(diǎn)（x，y）在四邊形ABNM上及其內(nèi)部（除AB邊）求得z范圍，將這2個(gè)范圍取并集可得答案．
解答：解：當(dāng)4x+y≥3x-y時(shí)可得x+2y≥0
則原題可轉(zhuǎn)化為：當(dāng)，Z=4x+y
作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示的陰影部分的MDCN，作直線l：4x+y=0然后把直線l向可行域平移
則可知直線平移到C（2，2）時(shí)Z_max=10，平移到點(diǎn)N（-2，1）時(shí)Z_min=-6
此時(shí)有-6≤z≤10

當(dāng)，Z=3x-y
作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示的ABNM作直線l：3x-y=0，然后把直線3x-y=0向可行域平移
則可知直線平移到M（-2，1）時(shí)Z_min=-7，平移到點(diǎn)B（2，-2）時(shí)，Z_max=8
此時(shí)有-7≤z≤8
綜上可得，-7≤Z≤10


點(diǎn)評(píng)：本題表面上看約束條件和目標(biāo)函數(shù)都是靜態(tài)的，實(shí)際上二者都是動(dòng)態(tài)變化的，目標(biāo)函數(shù)是z=4x+y還是z=3x-y并沒(méi)有明確確定下來(lái)，直線x+2y=0又將原可行域分為兩部分．解題的關(guān)鍵是通過(guò)比較4x+y與3x-y的大小，同時(shí)目標(biāo)函數(shù)及可行域都將發(fā)生變化．此題構(gòu)思比較巧妙．