Question

【題目】若一束平行光線照射到一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體表面上，俯視圖在正方體正后方垂直于光線的平面上留下影子的面積為，求的最大值．

Answer 1

【答案】最大值為

【解析】

根據(jù)平行投影的性質(zhì)可知：正方體中與公共頂點(diǎn)相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的等邊三角形對(duì)應(yīng)的投影2倍最大，計(jì)算得到答案.

由平行投影的性質(zhì)可知投影光線只能照到正方體的一個(gè)面、相鄰的兩個(gè)面或互相相鄰的三個(gè)面（前兩種可以看成第三種的特例），

且每個(gè)面的投影為正方形、長(zhǎng)方形或平行四邊形（前兩種仍可以看成第三種的特例）．

每個(gè)平行四邊形的面積等于對(duì)角線分割的兩個(gè)全等三角形面積之和，所以投影面積是三個(gè)三角形面積之和的兩倍．

而取三個(gè)面公共頂點(diǎn)所對(duì)對(duì)角線分割的三個(gè)小三角形的投影之和，即為一個(gè)大三角形（由正方體中與公共頂點(diǎn)相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的等邊三角形）的投影．

而此等邊三角形的投影面積的最大值即為此等邊三角形的面積，

所以的最大值為.