Question

如圖，四邊形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°．

（1）求證：PC⊥AC；

（2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值；

（3）求點(diǎn)B到平面MAC的距離．

 

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)線面垂直的判定定理證PC⊥平面ABC，即可證得PC⊥AC。（2）用空間向量法求二面角。先過(guò)C作BC的垂線，建立空間直角坐標(biāo)系，再求各點(diǎn)的坐標(biāo)，和各向量的坐標(biāo)，再根據(jù)向量垂直的數(shù)量積公式求面的法向量，但需注意兩法向量所成的角和二面角相等或互補(bǔ)。（3）在（2）中已求出面的一個(gè)法向量，根據(jù)可求其距離。

試題解析：【解析】
（1）證明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∵∴PC⊥AC． 2分

（2）在平面ABC內(nèi)，過(guò)C作BC的垂線，并建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．

設(shè)P（0，0，z），則．

．

∵，

且z＞0，∴，得z=1，∴．

設(shè)平面MAC的一個(gè)法向量為=（x，y，1），則由

得得 ∴．

平面ABC的一個(gè)法向量為．

．

顯然，二面角M﹣AC﹣B為銳二面角，∴二面角M﹣AC﹣B的余弦值為． 8分

（3）點(diǎn)B到平面MAC的距離． 12分

考點(diǎn)：1線線垂直、線面垂直；2空間向量法解決立體幾何問(wèn)題。