設a>0,f(x)=是R上的偶函數(shù)，(1)求a的值；(2)證明: f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù).

(1) a=1 (2) 證明略


解析:

  依題意，對一切x∈R,有f(x)=f(－x),

即+aex  整理，得(a－)(ex－)=0.

因此，有a－=0,即a2=1,又a>0,∴a=1.

(2)證法一（定義法）: 設0＜x1＜x2,

則f(x1)－f(x2)=

由x1>0,x2>0,x2>x1,∴>0,1－e＜0,

∴f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2)

∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).

證法二（導數(shù)法）: 由f(x)=ex+e－x，得f′(x)=ex－e－x=e－x·(e2x－1).當x∈(0,+∞)時，e－x>0,e2x－1>0.

此時f′(x)>0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函數(shù).

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