【題目】已知函數(shù) 在 處的切線斜率為2.
(Ⅰ)求 的單調區(qū)間和極值;
(Ⅱ)若 在 上無解,求 的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)∵ , ,
∴ .
∴ , .
令 ,解得 或 .
當 變化時, 的變化情況如下表:
∴函數(shù) 的單調遞增區(qū)間為 ,單調遞減區(qū)間為 和 .
∴函數(shù)的極小值為 ,極大值為 ;
(Ⅱ)令 .
∵ 在 上無解,
∴ 在 上恒成立.
∵ ,記 ,
∵ 在 上恒成立,
∴ 在 上單調遞減.
∴ .
若 ,則 , ,
∴ .
∴ 單調遞減.
∴ 恒成立.
若 ,則 ,存在 ,使得 ,
∴當 時, ,即 .
∴ 在 上單調遞增.
∵ ,
∴ 在 上成立,與已知矛盾,故舍去.
綜上可知,
【解析】(1)求出原函數(shù)的導函數(shù),由函數(shù)f(x)圖象在(1,f(1))處切線的斜率為2,得f′(1)=1,由此式可求a的值;再利用導函數(shù)小于0和導函數(shù)大于0求解函數(shù)的單調區(qū)間,然后根據(jù)極值的定義進行判定極值即可.
(2)設出新的函數(shù),直接利用導函數(shù)小于0和導函數(shù)大于0求解函數(shù)的單調區(qū)間,然后根據(jù)恒成立的條件進行判定即可.
【考點精析】關于本題考查的利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】關于函數(shù),給出下列命題:
①若函數(shù)f(x)是R上周期為3的偶函數(shù),且滿足f(1)=1,則f(2)-f(-4)=0;
②若函數(shù)f(x)滿足f(x+1)f(x)=2 017,則f(x)是周期函數(shù);
③若函數(shù)g(x)= 是偶函數(shù),則f(x)=x+1;
④函數(shù)y= 的定義域為 .
其中正確的命題是 . (寫出所有正確命題的序號)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)f(x)= x2-mln x,g(x)=x2-(m+1)x.
(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;
(2)當m≥0時,討論函數(shù)f(x)與g(x)圖象的交點個數(shù).
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【題目】下列命題正確的是( )
A.存在 ,使得 的否定是:不存在 ,使得
B.對任意 ,均有 的否定是:存在 ,使得
C.若 ,則 或 的否命題是:若 ,則 或
D.若 為假命題,則命題 與 必一真一假
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【題目】在空間中, 是兩條不同的直線, 是兩個不同的平面,則下列命題中的真命題是( )
A.若 , ,則
B.若 , , ,則
C.若 , ,則
D.若 , 則
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【題目】如圖,在三棱臺 中, , 分別是 , 的中點, , 平面 ,且 .
(1)證明: 平面 ;
(2)若 , 為等邊三角形,求四棱錐 的體積.
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【題目】已知定義在 上的函數(shù) 滿足 ,且 是偶函數(shù),當 時, .令 ,若在區(qū)間 內,函數(shù) 有4個不相等實根,則實數(shù) 的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】已知函數(shù) 的最小正周期為 ,將函數(shù) 的圖象向左平移 個單位長度,再向下平移 個單位長度,得到函數(shù) 的圖象.
(Ⅰ)求函數(shù) 的單調遞增區(qū)間;
(Ⅱ)在銳角 中,角 的對邊分別為 .若 , ,求 面積的最大值.
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【題目】如圖程序框圖是為了求出滿足3n﹣2n>1000的最小偶數(shù)n,那么在 和 兩個空白框中,可以分別填入( 。
A.A>1000和n=n+1
B.A>1000和n=n+2
C.A≤1000和n=n+1
D.A≤1000和n=n+2
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